Электростатическое поле в вакууме, страница 5

Используя дифференциальную форму теоремы Гаусса для электростатического поля и выражение поля через потенциал (1.24), нетрудно получить  связь (2.26) между  пространственным распределением заряда и обусловленным им потенциалом. Вошедшее в получившееся выражение скалярное произведение оператора набла на себя настолько часто встречается в уравнениях физики, что для него были введены специальные обозначение () и название - оператор Лапласа или лапласиан. Явный вид этого оператора в декартовой системе координат (2.27) получается в результате формального выполнения операции скалярного умножения оператора на себя.

         Получившееся неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка (2.27) в частных производных носит название уравнения Пуассона, а его частный случай для пустого пространства () - уравнения Лапласа.

         Уравнение Пуассона позволяет легко решить задачу определения неизвестного распределения зарядов по заданному пространственному распределению создаваемого им потенциала. Задача же нахождения потенциала по известному распределению заряда была решена в предыдущей лекции. По существу полученная ранее формула (1.19) может рассматриваться как частное решение уравнения Пуассона (2.28) с заданной правой частью.

         Уравнения типа (2.26) часто встречаются не только в электродинамике, но и в других разделах физики (см. Пример 2.4). При этом для их решения можно использовать уже разобранные методы, пользуясь замечательным свойством математических уравнений: одинаковые уравнения имеют одинаковые решения, независимо от того, какие буквы используются при их записи.

Пример 2.4.    Диффузия нейтронов из ядерного реактора.

Считая, что ядерный реактор представляет собой шар с заданным радиусом R, внутри которого скорость рождения нейтронов постоянна, найти стационарное  концентрации нейтронов во всем пространстве, окружающем реактор. Считать, что скорость направленного дрейфа нейтронов пропорциональна градиенту их концентрации.

Решение:

Введем понятие тока нейтронов, как произведение их концентрации на среднюю скорость направленного движения (2.29). Согласно условию задачи, нейтронный ток пропорционален градиенту концентрации и, разумеется, направлен в направлении ее уменьшения (2.30). Входящий  в (2.30) множитель D носит название коэффициента диффузии.

         Скорость изменения числа частиц в объеме V определяется их диффузией через границу Г₂ этого объема, рождением в результате ядерных процессов и гибелью при столкновениях с атомами поглотителя (2.31). Дифференциальный аналог соотношения (2.31) легко получить, применяя его к бесконечно малому объему, аналогично тому, как это делалось при выводе уравнения для дивергенции электростатического поля (2.32). В стационарном случае при отсутствии поглощения выражающее закон сохранения числа частиц уравнение (2.32) принимает вид (2.33), весьма сходный с уравнением для дивергенции электростатического поля. Аналогия с электростатикой распространяется и на уравнение диффузии (2.30): роль вектора напряженности поля играет плотность тока, а потенциала - концентрация нейтронов. Исключая из двух последних уравнений плотность тока, приходим к аналогу уравнения Пуассона для электростатических задач (2.34).

         Т.о. задача о нахождении пространственного распределения концентрации нейтронов с точностью до переобозначений (2.35) свелась к задаче отыскания потенциала внутри и вне равномерно заряженного шара, решение которой весьма просто.