Электростатическое поле в вакууме, страница 4

Пример 2.3.    Ленгмюровские колебания в плазме.

Рассчитать частоту собственных малых одномерных колебаний электронной плотности в плазме,  предполагая, что она в целом электронейтральна, а скорости ионов пренебрежимо малы.

Решение:        

В стационарном состоянии электрически равновесной плазмы  концентрации электронов и ионов равны  друг  другу,  макроскопическое электрическое поле отсутствует.

         Пусть в результате внешнего возмущения слой электронов толщиной  переместился на некоторое расстояние  (рис. 2.7). В общем случае следует считать, что различные участки рассматриваемого слоя сместятся на разные расстояния. В результате объем слоя и, следовательно, концентрация электронов изменятся (20).

         Полагая отношение малым по сравнению с единицей (условие Ленгмюровских колебаний) и переходя к полной производной (по условию задача одномерная), приходим к выражению (2.21) для концентрации электронов в возмущенной плазме.

         Изменение электронной концентрации при условии постоянства концентрации положительных ионов (тяжелые частицы практически неподвижны) приводит к возникновению пространственной плотности электрического заряда. В свою очередь, согласно уравнению  (2.17), этот заряд обусловливает появление электрического поля, описываемого равенством (2.22).

         Соотношение (2.22) позволяет найти электрическое поле с точностью до константы С . Поскольку в невозмущенной электрически нейтральной плазме смещение электронов отсутствует, эта константа должна считаться равной нулю. Т.о., согласно (2.23) возникающее электрическое поле пропорционально смещению электронов.

         Возникающее электрическое поле, согласно второму закону Ньютона, стремиться вернуть электроны в исходное положение, что в соответствии с уравнением движения (2.24) приводит к возникновению гармонических колебаний. Частота свободных колебаний электронной плотности в плазме  дается соотношением (2.25).

2.4. Уравнение Пуассона