Электростатика диэлектриков. Теорема единственности для решения граничных задач электростатики диэлектриков. Потенциал точечного заряда в присутствии диэлектрического полупространства

6. ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ.

Теорема единственности для решения граничных задач электростатики диэлектриков. Потенциал точечного заряда в присутствии диэлектрического полупространства. Диэлектрический шар в однородном электрическом поле. Потенциал распределенных зарядов. Полярные и неполярные молекулы в диэлектрике. Поляризация плотных неполярных диэлектриков. Формулы Клаузиуса – Моссотти и Лоренца. Поляризация полярных диэлектриков.

6.1. Теорема единственности для решения граничных задач электростатики диэлектриков. Докажем единственность решения задачи о потенциале в среде, состоящей из некоторого числа диэлектриков с постоянными диэлектрическими проницаемостями  (Рис. 6.1). В каждой из областей потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона

                                    ,                             (6.1)

где  - плотность зарядов на границе - го диэлектрика с проводниками,  - плотность сторонних зарядов в области . На границе раздела сред  должны выполняться граничные условия

                                    ,          (6.2)

где  - плотность поверхностного заряда. Так как , то первое из условий (6.2) будет выполнено, если на границе раздела сред  выполнено условие

                                                .                                        (6.3)

Второе условие в (6.2) перейдет в следующее

                                    .                                 (6.4)

Таким образом, задача электростатики диэлектриков сводится к решению уравнения (6.1) с известными функциями  с учетом граничных условий (6.3), (6.4). Утверждается, что решение такой задачи единственно, потенциал  находится с точностью до постоянного слагаемого. Последнее не влияет на электрическое поле, так как  Доказательство проводится от противного. Пусть  и  - два различных решения задачи, причем . Так как  и  удовлетворяют уравнению (6.1) с одними и теми же источниками, то . На границах  потенциал будет удовлетворять условиям

                        ,                       .            (6.5)

Воспользуемся формулой Грина

                        .                         

где  - замкнутая поверхность, охватывающая объем , занимаемый диэлектриком с проницаемостью ,  - внешняя по отношению к  нормаль на поверхности . Возьмем . Формула Грина с учетом однородного уравнения Пуассона для  и суммирования по  дает.                                                          (6.6)

При написании этого соотношения учтено, что интегрирование по поверхности  возникает дважды: один раз, когда формула Грина пишется для объема  с диэлектриком , а другой раз, для соседнего объема  с диэлектриком . Нормали обладают свойством . С учетом этого свойства и второго граничного условия в (6.5) правая часть в (6.6) обращается в ноль. Имеем

                                                .

Так как , то из равенства интеграла нулю следует, что

                                           ,

а это означает единственность решения рассматриваемой задачи.

            6.2. Потенциал точечного заряда в присутствии диэлектрического полупространства. Смещение зарядов в молекулах однородного безграничного изотропного диэлектрика, помещенного в электростатическое поле, приводит к уменьшению результирующего поля в диэлектрике. Если диэлектрик ограничен, то изменение поля не сводится к масштабному уменьшению. Как правило, происходит существенное изменение  пространственной структуры поля. При решении таких задач используется принцип единственности задач электростатики. Если с помощью суперпозиции электростатических полей удается удовлетворить граничным условиям на поверхности диэлектрика, то эта суперпозиция представляет собой истинное поле.

            Определим потенциал, создаваемый точечным зарядом  в присутствии диэлектрического полупространства с плоской границей (Рис. 6.2). Используем метод изображений. При этом идея использования фиктивных зарядов (изображений) несколько отличается от идеи изображений в задачах электростатики проводников (раздел 5.6). Считаем, что напряженность поля в вакууме будет таким же, как в отсутствии диэлектрика, но при наличии зеркального (фиктивного заряда) . Этот заряд помещается в точку  в диэлектрике. Относительная диэлектрическая проницаемость этого диэлектрика . Реальный заряд  находится в вакууме в точке .