Основные понятия физики плазмы. Электродинамика быстрых процессов в плазме, страница 7

            Из за большого различия масс ионов и электронов, влияние движения тяжелых частиц (ионов) на быстрый (высокочастотный) процесс оказывается слабым, если . Ниже будет показано, что при  влияние ионов становится существенным.

13.5. Диффузия плазмы. Рассмотрим достаточно медленный процесс при наличии частых столкновений электронов с тяжелыми частицами (ионами и нейтральными частицами):

                                   

и пренебрежем инерционным членом в уравнении движения электронной компоненты

                                               

Получаем соотношение

                                                ,

или

                                    ,

где  - подвижность,  - коэффициент диффузии,  - поток электронной компоненты плазмы. Имеет место соотношение Эйнштейна

                                                            .

В случае выполнения неравенства  имеет место диффузионный процесс. Он описывается законом Фика

                                                            .

В этом приближении существует поток электронов из области большей их концентрации в область меньшей концентрации. Если неравенство  нарушается, то ситуация усложняется за счет влияния электромагнитного взаимодействия заряженных компонент. Уравнение неразрывности принимает вид

                                                .

В случае полей малой амплитуды (в линейном приближении) последнее уравнение упрощается

                                                .

13.6. Диффузия в слое плазмы, ограниченном стенками. Рассмотрим эволюцию одномерного пространственного распределения плазмы между двумя стенками в случае . Будем считать, что на стенках  концентрация обращается в ноль. Уравнение диффузии имеет вид

                                                .

С такими граничными условиями это уравнение имеет бесконечно много решений. Одно из них (наинизшая мода, или нулевая мода) представляется в виде произведения двух функций

                                                .

Уравнению диффузии можно придать вид

                                                .

Получаем следующее представление

Для решения с одним максимумом, из граничных условий получаем значения двух констант . Это соответствует описанию наинизшей (нулевой) моде:

                                    ,    .

Если известно начальное распределение концентрации , , то можно построить решение нестационарной задачи методом разделения переменных. Сделаем разложение в ряд Фурье:

                        .

Правая часть этого представления обращается в ноль при . Решение нестационарной задачи можно построить в виде

.

Подстановка этого представления в уравнение диффузии и приравнивание коэффициентов при  и  дает представление для масштаба затухания -й моды

                                                .

Гармоники с большими номерами затухают быстрее, чем гармоники с меньшими номерами. Постепенно начальное распределение  превратится в нулевую моду. Потом будет происходить уменьшение амплитуды, в то время, как форма распределения будет оставаться неизменной.

13.7. Действие статического источника ионизации в плазменном слое. В экспериментальных установках возможно поддержание установившегося стационарного состояния путем непрерывной дополнительной ионизации или инжекции плазмы. При этом компенсируются потери за счет диффузии. Рассмотрение такой ситуации возможно при добавлении в уравнение дополнительного члена , описывающего источник:

                                                .

В установившемся состоянии  и возникает задача о решении уравнения Пуассона со сторонним источником. Рассмотрим ситуацию когда .

            Если источник локализован в плоскости и он действует в слое , то при  имеем уравнение . Граничные условия возьмем в виде . Решение такой задачи имеет представление

                                                .

В точке расположения  - образного источника происходит скачок производной.