Напряженно-деформированное состояние сплошной среды. Функции формы квадратичных элементов

2. Сведения из теории

2.1 НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Существует обширный класс задач, в которых эффектами инер­ции и взаимосвязи тепловых и механических процессов можно пре­небречь. Тогда совместная задача термоупругости образует две раздельные задачи, решение которых выполняются последовательно и независимо.

Основные уравнения такой несвязанной задачи нестационар­ной термоупругости /без учёта теплообразования при деформации, но с учётом переноса координат/ в квазистатической постановке по напряженному состоянию следующие:

а/ уравнение теплопроводности

КТ_,ii =rc_v ,          (2,1)

б/ уравнение равновесия

s_ij,j + rb_i=0,             (2,2)

в/ уравнения связи тензоров напряжений и деформации

s_ij =ld _ije_kk + 2me_ij –(3l+2m)ad _ije(T-T₀),    (2,3)

г/ уравнение связи деформаций с перемещениями

e_ij=0.5(u_i,j + u_j,i )        ,                           (2,4)

Дополняя последние три уравнения (2.1-2.4) задачи теории упру­гости различными краевыми условиями на поверхности  ограничива­ющей рассматриваемое тело получаем полный набор соотношений, характеризующих напряженно-деформированное состояние среды.

2.2 ПЕРЕХОД ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

К РАСЧЕТНОЙ МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ СРЕДЫ

Процессы деформирования среды связаны с изменением её температурного состояния и наоборот, - изменение температуры сре­ды создаёт её деформацию. В целом это диктует целесообразность решения связанной задачи теплового и деформированного состояний как это принято при теоретическом подходе. Унификация        же программных разработок предполагает условия полного алгоритмического решения частных задач - тепло­вого и напряженно-деформированного состояний среды, а затем их последующего объединения. При этом каждое дифференциальное уравнение, представленные ранее, необходимо изложить применительно к некоей абстрактной модели, наделенной всевозможными вариантами описываемого им явления. Этот переход требует некоторых навыков рассмотрения обычного физического явления, что вызвано потребностью универсальности алгоритма решения. К примеру, среда может состоять из разнородных фрагментов, имеющих различные свойства. Область пространства, ограниченного средой может иметь незамкнутую поверхность в разных частях. Таким образом, часть среды можно считать полупространством. Кроме того, на поверхность тела возможно воздействие однотипных проявлений, но происходящих в разных ее местах.

Ниже излагается описание наиболее полной абстрактной модели, позволяющей выполнять такой переход.

Рис.1    Тело, представленное набором элементарных объемов и поверхностей

                                 X₃

Тело, объёмом V ограниченное поверхностью S  /рис.1/ при его дискретном представлении состоит из К элементов объёма и  I, J, L, M,…  частей поверхности (количество которых может быть разным в разных задачах):

V=,              S= + ++…+.

При этом в задаче динамического поведения каждый элемент объёма тела V_K обладает конкретными физико-механическими свойствами:

-  модулями упругости  E_Vk,G_Vkпервого и второго рода (МПа) для изотропного тела и дополнительными, характеристиками упругости для анизотропного; 

-  плотностью (кг/см³).

Кроме того, на каждую частицу тела может действовать массовая сила q_V , вызванная силами тяжести при действии перегрузок с коэффициентом n_g, либо электромагнитными полями в объёмеV, либо его части;

На поверхности S₁ действует нагрузка интенсивностью q_j(t) (МПа), на S₂ возможны кинематические перемещения, переменные или изменяемые во времени u_J(t) (см) и на поверхности S₃ перемещения u_L(t) и скорость  (см/сек) характер изменения которых во времени известен. Дополнительно, на элементарных поверхностях S₄ действуют сосредоточенные силы  p_m .

Для произвольного момента времени процесс динамического нагружения конструкции опи­сывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений ­второго порядка

M+С+ КU = F  (1.5)

Чаще всего матрицей демпфирующих свойств, в предварительном расчете пренебрегают, поэтому уравнения на это слагаемое сократим

M+ КU = F            .                 (1.5а)

Тогда, с учетом сказанного,

[М]+ [C]{U} ={F_qv}_V+{}_V +{F_q}_S1+{p_m}_S4 , 

при    {u_J(t)}_S2 наS₂  и  {u_L(t)}_S3 и {}_S3            наS₃  .

где:        [M], M   - матрица распределения плотности и матрица жесткости [К], К ;

              {F_qv}_Vи {}_V  - векторы нагрузок, вызванные массовыми силами и действием неравномерного теплового поля {DT}_v, вследствие деформации {e_o}_v линейного расширения; {F_q}_S1, поверхностными на S₁  и локальными {p_m}_S4 на S₄. Кинематические ограничения, накладываемые на поверхности наS₂  нS₃ определяются векторами {u_J(t)}_S2 наS₂  и  {u_L(t)}_S3, {}_S3 . Размерность решаемой системы (n, nx2, nx3) зависит от вида описания пространства, и изменяется пропорционально ему.