Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Дано:

(dy/dt) = sin(t)-u-cos(t); t принадлежит отрезку [0, ]; начальные данные:

 y(1) = y⁰ = 0; точное решение: y(x) = -sin(t).

Постановка задачи:

1) Необходимо проверить, что заданная функция y(x) =-sin(t)  является точным решение и удовлетворяет начальным данным (y(1) = u⁰ = 0).

2) Необходимо найти решение y(x) на отрезке [a, b] ([0, ]). По переменной x введем равномерную разностную сетку x_i = a + i*h, I = 0. 1. 2. …..M, h = (b-a)/M – шаг сетки. Вместо точного решения y(x) отыщем приближенное решение y_i, заданное в узлах разностной сетки x_i. Для определения y_i ,будем использовать конечно-разностные методы: метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера (предиктор-корректор), метод Рунге-Кутты.

Решение:

1) Убедимся, что заданная функция u(t) =-sin(t) является точным решение и удовлетворяет начальным данным (y(1) = u⁰ = 0).

(du/dt) = sin(t)-u-cos(t); x принадлежит отрезку [0, ]; начальные данные:   y(1) = u⁰ = 0.

Подставим u(t) =-sin(t)  в du/dt = sin(t)-u-cos(t) , получим:

du/dt = sin(t)-(-sin(t)) -cos(t)  , du/dt = -cos(t). Возьмем производную от функции точного решения, получим: (u(t))^/ = -cos(t). Как мы видим, получается тождество:     

-cos(t) = -cos(t) , а u(0) = 0, из этого следует, что заданная функция является точным решением и удовлетворяет начальным данным.

2)

Метод Эйлера

Построим разностную сетку x_i = a + i*h, I = 0. 1. 2. …..M, h = (b-a)/M – шаг сетки.

Метод Эйлера является простейшим конечно-разностным методом, в котором уравнение заменяется разностной схемой: (y_i+1 – y_i)/h = f(x_i, y_i), i = 0, 1, 2,….M-1. Решение определяется по формуле:

y_i+1 = y_i + h*f(x_i, y_i), i = 0, 1, 2,…..M-1. (1)

Метод Эйлера имеет первый порядок аппроксимации. Реализация метода. Поскольку x₀, y₀, f(x₀, y₀) известны, применяя (1) последовательно, определяем все y_i : y₁ = y₀ + h*f(x₀, y₀), y₂ = y₁ + h*f(x₁, y₁), y₃ = y₂ + h*f(x₂, y₂)……..

                                                     M=10

Номер шага i	Значение аргумента xi	Приближенное решение yi	Точное решение y(xi)	Погрешность  |y(x i) - yi|
0	0	0	0	0
1	0,15707963	-0,157079633	-0,15643447	0,000645168
2	0,31415927	-0,312257127	-0,30901699	0,003240132
3	0,4712389	-0,461964938	-0,4539905	0,007974438
4	0,62831853	-0,603071261	-0,58778525	0,015286009
5	0,78539816	-0,733010744	-0,70710678	0,025903963
6	0,9424778	-0,849942634	-0,80901699	0,040925639
7	1,09955743	-0,952936487	-0,89100652	0,061929963
8	1,25663706	-1,042186907	-0,95105652	0,091130391
9	1,41371669	-1,119259922	-0,98768834	0,131571581
10	1,57079633	-1,187377344	-1	0,187377344

M=20

Номер шага i	Значение аргумента xi	Приближенное решение yi	Точное решение y(xi)	Погрешность  |y(x i) - yi|
0	0	0	0	0
1	0,07854	-0,07854	-0,07846	8,0721E-05
2	0,15708	-0,15684	-0,15643	0,00040405
3	0,235619	-0,23442	-0,23345	0,00097595
4	0,314159	-0,31083	-0,30902	0,00180994
5	0,392699	-0,38561	-0,38268	0,00292742
6	0,471239	-0,45835	-0,45399	0,00435833
7	0,549779	-0,52864	-0,5225	0,00614205
8	0,628319	-0,59611	-0,58779	0,00832863
9	0,706858	-0,66043	-0,64945	0,0109803
10	0,785398	-0,72128	-0,70711	0,01417333
11	0,863938	-0,77841	-0,76041	0,01800023
12	0,942478	-0,83159	-0,80902	0,0225722
13	1,021018	-0,88066	-0,85264	0,02802207
14	1,099557	-0,92551	-0,89101	0,03450739
15	1,178097	-0,96609	-0,92388	0,04221385
16	1,256637	-1,00242	-0,95106	0,0513589
17	1,335177	-1,03457	-0,97237	0,06219538
18	1,413717	-1,0627	-0,98769	0,07501523
19	1,492257	-1,08707	-0,99692	0,09015282
20	1,570796	-1,10799	-1	0,10798817

M=40