Идея построения явных методов Рунге-Кутты p-го порядка заключается в получении приближений к значениям y(xi+1) по формуле вида yi+1 = yi + h*φ(xi, yi, h),
Где φ (xi, yi, h) = ∑cnkni(h)
k1i(h) = f(xi, yi),
k2i(h) = f(xi + α2h, yi + β21k1i(h)),
k3i(h) = f(xi + α3h, yi + β31k1i(h) + β32k2i(h)),
……..
kgi(h) = f(xi + αgh, yi + βg1k1i(h) +…..+ βg,g-1kg-1i(h)),
здесь αn , βnj, 0 < j < n ≤ g – некоторые фиксированные числа (параметры), которые подбирают таким образом, чтобы получить нужный порядок аппроксимации p.
В данной лабораторной работе используем трехшаговый метод Рунге-Кутты третьего порядка аппроксимации:
k1 = f(xi, yi),
k2 = f(xi + h/3, yi + hk1/3),
k3 = f(xi + 2h/3, yi + 2k2h/3).
Приближенное значение определяется по формуле: yi+1 = yi + (h/4)( k1 + 3k3 ), i = 0, 1, 2,….M, y0 = y0.
M=10
Номер шага i |
Значение аргумента xi |
k1 |
k2 |
k3 |
Приближенное решение yi |
Точное решение y(xi) |
Погрешность |y(x i) - yi| |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||
1 |
0,15708 |
-1 |
-0,99863 |
-0,99453 |
-0,156435442 |
-0,15643 |
9,7707E-07 |
2 |
0,314159 |
-0,98769 |
-0,97825 |
-0,96596 |
-0,309020877 |
-0,30902 |
3,8825E-06 |
3 |
0,471239 |
-0,95106 |
-0,9339 |
-0,91361 |
-0,454001211 |
-0,45399 |
1,0711E-05 |
4 |
0,628319 |
-0,89101 |
-0,86668 |
-0,8388 |
-0,587809994 |
-0,58779 |
2,4742E-05 |
5 |
0,785398 |
-0,80902 |
-0,77822 |
-0,74338 |
-0,707157138 |
-0,70711 |
5,0357E-05 |
6 |
0,942478 |
-0,70711 |
-0,67067 |
-0,6297 |
-0,809109865 |
-0,80902 |
9,287E-05 |
7 |
1,099557 |
-0,58779 |
-0,54668 |
-0,50058 |
-0,891164883 |
-0,89101 |
0,00015836 |
8 |
1,256637 |
-0,45399 |
-0,40928 |
-0,3592 |
-0,951309975 |
-0,95106 |
0,00025346 |
9 |
1,413717 |
-0,30902 |
-0,26184 |
-0,20905 |
-0,988073363 |
-0,98769 |
0,00038502 |
10 |
1,570796 |
-0,15643 |
-0,108 |
-0,05384 |
-1,000559522 |
-1 |
0,00055952 |
M=20
Номер шага i |
Значение аргумента xi |
k1 |
k2 |
k3 |
Приближенное решение yi |
Точное решение y(xi) |
Погрешность |y(x i) - yi| |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||
1 |
0,078539816 |
-1 |
-0,99966 |
-0,99863 |
-0,0784591 |
-0,07846 |
3,0462E-08 |
2 |
0,157079633 |
-0,99692 |
-0,99453 |
-0,99145 |
-0,1564346 |
-0,15643 |
1,07187E-07 |
3 |
0,235619449 |
-0,98769 |
-0,98328 |
-0,97815 |
-0,2334456 |
-0,23345 |
2,4644E-07 |
4 |
0,314159265 |
-0,97237 |
-0,96597 |
-0,95882 |
-0,3090175 |
-0,30902 |
4,76042E-07 |
5 |
0,392699082 |
-0,95106 |
-0,94271 |
-0,93359 |
-0,3826843 |
-0,38268 |
8,34844E-07 |
6 |
0,471238898 |
-0,92388 |
-0,91366 |
-0,9026 |
-0,4539919 |
-0,45399 |
1,3721E-06 |
7 |
0,549778714 |
-0,89101 |
-0,87897 |
-0,86604 |
-0,5225007 |
-0,5225 |
2,14674E-06 |
8 |
0,628318531 |
-0,85264 |
-0,83887 |
-0,82415 |
-0,5877885 |
-0,58779 |
3,22665E-06 |
9 |
0,706858347 |
-0,80902 |
-0,79361 |
-0,77717 |
-0,6494527 |
-0,64945 |
4,68785E-06 |
10 |
0,785398163 |
-0,76041 |
-0,74345 |
-0,72541 |
-0,7071134 |
-0,70711 |
6,61366E-06 |
11 |
0,86393798 |
-0,70711 |
-0,68872 |
-0,66917 |
-0,7604151 |
-0,76041 |
9,09392E-06 |
12 |
0,942477796 |
-0,64945 |
-0,62974 |
-0,60882 |
-0,8090292 |
-0,80902 |
1,2224E-05 |
13 |
1,021017612 |
-0,58779 |
-0,56689 |
-0,54471 |
-0,8526563 |
-0,85264 |
1,6104E-05 |
14 |
1,099557429 |
-0,5225 |
-0,50054 |
-0,47724 |
-0,8910274 |
-0,89101 |
2,08374E-05 |
15 |
1,178097245 |
-0,45399 |
-0,4311 |
-0,40684 |
-0,9239061 |
-0,92388 |
2,65298E-05 |
16 |
1,256637061 |
-0,38268 |
-0,35901 |
-0,33392 |
-0,9510898 |
-0,95106 |
3,32875E-05 |
17 |
1,335176878 |
-0,30902 |
-0,28471 |
-0,25896 |
-0,9724111 |
-0,97237 |
4,12151E-05 |
18 |
1,413716694 |
-0,23345 |
-0,20865 |
-0,18239 |
-0,9877388 |
-0,98769 |
5,04129E-05 |
19 |
1,49225651 |
-0,15643 |
-0,1313 |
-0,10471 |
-0,9969783 |
-0,99692 |
6,09736E-05 |
20 |
1,570796327 |
-0,07846 |
-0,05314 |
-0,02638 |
-1,000073 |
-1 |
7,2978E-05 |
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.