Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, страница 5

Идея построения явных методов Рунге-Кутты p-го порядка заключается в получении приближений к значениям y(xi+1) по формуле вида yi+1 = yi + h*φ(xi, yi, h),

Где φ (xi, yi, h) = ∑cnkni(h)

k1i(h) = f(xi, yi),

k2i(h) = f(xi + α2h, yi + β21k1i(h)),

k3i(h) = f(xi + α3h, yi + β31k1i(h) + β32k2i(h)),

……..

kgi(h) = f(xi + αgh, yi + βg1k1i(h) +…..+ βg,g-1kg-1i(h)),

здесь αn , βnj, 0 < j < n ≤ g – некоторые фиксированные числа (параметры), которые подбирают таким образом, чтобы получить нужный порядок аппроксимации p.

В данной лабораторной работе используем трехшаговый метод Рунге-Кутты третьего порядка аппроксимации:

k1 = f(xi, yi),

k2 = f(xi + h/3, yi + hk1/3),

k3 = f(xi + 2h/3, yi + 2k2h/3).

Приближенное значение определяется по формуле: yi+1 = yi + (h/4)( k1 + 3k3 ),             i = 0, 1, 2,….M, y0 = y0.

M=10

Номер шага i

Значение аргумента xi

k1

k2

k3

Приближенное решение yi

Точное решение y(xi)

Погрешность  |y(x i) - yi|

0

0

0

0

0

1

0,15708

-1

-0,99863

-0,99453

-0,156435442

-0,15643

9,7707E-07

2

0,314159

-0,98769

-0,97825

-0,96596

-0,309020877

-0,30902

3,8825E-06

3

0,471239

-0,95106

-0,9339

-0,91361

-0,454001211

-0,45399

1,0711E-05

4

0,628319

-0,89101

-0,86668

-0,8388

-0,587809994

-0,58779

2,4742E-05

5

0,785398

-0,80902

-0,77822

-0,74338

-0,707157138

-0,70711

5,0357E-05

6

0,942478

-0,70711

-0,67067

-0,6297

-0,809109865

-0,80902

9,287E-05

7

1,099557

-0,58779

-0,54668

-0,50058

-0,891164883

-0,89101

0,00015836

8

1,256637

-0,45399

-0,40928

-0,3592

-0,951309975

-0,95106

0,00025346

9

1,413717

-0,30902

-0,26184

-0,20905

-0,988073363

-0,98769

0,00038502

10

1,570796

-0,15643

-0,108

-0,05384

-1,000559522

-1

0,00055952

M=20

Номер шага i

Значение аргумента xi

k1

k2

k3

Приближенное решение yi

Точное решение y(xi)

Погрешность  |y(x i) - yi|

0

0

0

0

0

1

0,078539816

-1

-0,99966

-0,99863

-0,0784591

-0,07846

3,0462E-08

2

0,157079633

-0,99692

-0,99453

-0,99145

-0,1564346

-0,15643

1,07187E-07

3

0,235619449

-0,98769

-0,98328

-0,97815

-0,2334456

-0,23345

2,4644E-07

4

0,314159265

-0,97237

-0,96597

-0,95882

-0,3090175

-0,30902

4,76042E-07

5

0,392699082

-0,95106

-0,94271

-0,93359

-0,3826843

-0,38268

8,34844E-07

6

0,471238898

-0,92388

-0,91366

-0,9026

-0,4539919

-0,45399

1,3721E-06

7

0,549778714

-0,89101

-0,87897

-0,86604

-0,5225007

-0,5225

2,14674E-06

8

0,628318531

-0,85264

-0,83887

-0,82415

-0,5877885

-0,58779

3,22665E-06

9

0,706858347

-0,80902

-0,79361

-0,77717

-0,6494527

-0,64945

4,68785E-06

10

0,785398163

-0,76041

-0,74345

-0,72541

-0,7071134

-0,70711

6,61366E-06

11

0,86393798

-0,70711

-0,68872

-0,66917

-0,7604151

-0,76041

9,09392E-06

12

0,942477796

-0,64945

-0,62974

-0,60882

-0,8090292

-0,80902

1,2224E-05

13

1,021017612

-0,58779

-0,56689

-0,54471

-0,8526563

-0,85264

1,6104E-05

14

1,099557429

-0,5225

-0,50054

-0,47724

-0,8910274

-0,89101

2,08374E-05

15

1,178097245

-0,45399

-0,4311

-0,40684

-0,9239061

-0,92388

2,65298E-05

16

1,256637061

-0,38268

-0,35901

-0,33392

-0,9510898

-0,95106

3,32875E-05

17

1,335176878

-0,30902

-0,28471

-0,25896

-0,9724111

-0,97237

4,12151E-05

18

1,413716694

-0,23345

-0,20865

-0,18239

-0,9877388

-0,98769

5,04129E-05

19

1,49225651

-0,15643

-0,1313

-0,10471

-0,9969783

-0,99692

6,09736E-05

20

1,570796327

-0,07846

-0,05314

-0,02638

-1,000073

-1

7,2978E-05