Определение перемещений плоских стержневых систем от силовых воздействий

Определение перемещений плоских стержневых систем

от силовых воздействий

З а д а ч а   1.

Непосредственное вычисление интегралов в формуле Максвелла – Мора

1

                                                               Определить v_K .

 

Р е ш е н и е 1. Переобозначаем искомое перемещение: vK = D1F . 2. Формула  Максвелла – Мора  для  плоской стержневой системы с учетом изгиба, сдвига и растяжения-сжатия элементов:

q

                                                            

 

         3.  Рассматриваем действительное (грузовое) состояние системы «F» – определяем внутренние силовые факторы  M_F,  Q_F  и  N_F :

 

    

         3.  Рассматриваем  вспомогательное  (единичное)  состояние  системы  « i  = 1 »

i = 1

F1 = 1

K

с единичным воздействием по направлению искомого перемещения (силой F₁ = 1) – определяем внутренние силовые факторы  M₁,  Q₁  и  N₁ :

 

                                         

         4. Вычисление перемещения по формуле Максвелла – Мора:

v_K = D_1F  =

          

           

         Учитывая, что E₁/G₁ = 2(1+n₁)  (n₁ – коэффициент Пуассона),  I₁ =  (здесь r₁ – радиус инерции сечения,  h₁ – высота сечения на участке 1), получаем:

v_K =

                                      От изгиба                    От сдвига           От укорочения стойки

         Для  количественной оценки вклада каждого вида деформации в определяемое перемещение рассмотрим случай, когда ригель и стойка изготовлены из одного материала ( E₁ = E₂ , G₁ = G₂ ):

v_K =

         Для большинства изотропных материалов  n₁ = 0,15 … 0,3;   для сечений от прямо-угольных до двутавровых = 0,3 … 0,45;  = 1,2 … 3,  тогда    

v_K =

         Если ригель и рама имеют одинаковые сечения (А₁ = А₂, I₁ = I₂) и длины (l₁ = l₂), то

v_K =

где второе слагаемое в скобках оценивает суммарный вклад в перемещение v_K деформации сдвига (в ригеле) и сжатия стойки.

         При обычных пропорциях колонн и ригелей рамных строительных конструкций h₁/ l₁ = 1/8 … 1/15, и тогда доля перемещения за счет сдвига и сжатия в сумме составля-ет 0,25 … 3,4 %  от перемещения, возникающего от деформации изгиба элементов. При этом вклад сдвига в 1,4 … 4 раза превышает вклад сжатия.  

       Замечание:  влияние сдвига может существенно возрастать

а) для тонкостенных сечений, у которых коэффициент может быть больше 4 ;

б) в случае анизотропного материала (при больших значениях отношения E/G);

в) при больших поперечных силах  (M /Q ~ h,  где h – высота сечения), например, при сосредоточенных нагрузках вблизи от опор балки и т.п.

З а д а ч а   2

Использование практических способов вычисления интегралов

в формуле Максвелла – Мора

Способы вычисления интеграла :

                         Правило Верещагина                                  Формула Симпсона

                      Условие применимости:                           Условие применимости: 

              одна из функций (  f₁ ) – линейная,            единое аналитическое выражение

=.

=

Intj =

Ф(x)

Фe

Фc

Фb

e

c

b

lj/2

lj/2

f1

f2

                 другая (  f₂ ) – любая (сложная)                функции Ф(x) в интервале [ 0; l_j ]

				f = 40 кН
							R1,F= 90 кН

 

K

EI1

EI2

q = 20 кН/м

                                                                                                                   Т р е б у е т с я :