Построение одномерных моделей методом наименьших квадратов: Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу “Идентификация и диагностика систем”

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Саратовский государственный технический университет

Балаковский институт техники, технологии и управления

ПОСТРОЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ МЕТОДОМ

НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Методические указания

 к выполнению лабораторных работ

по курсу “Идентификация и диагностика систем”

для студентов специальности 210100

дневной, вечерней и заочной форм обучения

                                               Одобрено

                                                  редакционно-издательским советом

                                                  Балаковского института техники,

                                                  технологии и управления

Балаково 2009

Лабораторная работа № 1

Построение линейной одномерной модели методом

наименьших квадратов

Цель работы - освоение алгоритма метода наименьших квадратов. Освоение основных приемов работы в электронных таблицах EXCEL.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

При проведении исследований часто приходится отыскивать и изу­чать связи между различными процессами и их характеристиками.

Если некоторая величина  однозначно связана с некоторой величи­ной , то такая связь называется функциональной .

На практике между двумя случайными величинами может существо­вать стохастическая связь, проявляющаяся в изменении закона распреде­ления этих величин, обнаруживать эту связь удается, как правило, только в результате многочисленных измерений и последующей статической обра­ботки полученных результатов.

Для установления вида зависимости, при стохастической связи вели­чины, т.е. для идентификации этой зависимости используется регрессион­ный анализ.

При этом различают положительную линейную и нелинейную, отри­цательную и неотрицательную регрессии.

Функция регрессии определяется в виде соответствующего матема­тического уравнения того или иного типа.

С помощью функции регрессии можно установить значение зависи­мой величины внутри интервала, заданные значения независимой пере­менной или же оценить в течение процесса внезапного интервала.

Под этой зависимостью понимают одностороннюю стохастическую связь.

                                                                            (1)

  Неизвестные параметры регрессии  и вычисляются с помощью наименьших квадратов по уравнению:

                                                             (2)

  Помимо простой линейной регрессии может использоваться мно­жественно линейная регрессия вида:

                                                              (3)

В этом случае, переменные  оказывают соответственное влияние на зависимую переменную .

Задачами регрессионного анализа являются: установление формы за­висимости между переменными, оценка функций регрессии, оценка неиз­вестных значений зависимой переменной (прогноз).

Односторонняя зависимость случайной зависимой переменной Y от одной или нескольких независимых переменных X называется объясняю­щей регрессией. Такая зависимость может возникать тогда, когда при каж­дом фиксированном значении X, соответствующее значение Y подвержено случайному разбросу неконтролируемых факторов. Такая зависимость Y(X) называется регрессионной. Она может быть представлена в виде мо­дельного уравнения регрессии:

,                                                                     (4)

где  - случайная переменная, характеризующая отклонение от функции регрессии.

Линейный регрессионный анализ  - это анализ, для которого функ­ция f(X) линейна относительно оцениваемых факторов.

Регрессионный анализ включает в себя две основные компоненты:

1)   оценка вектора коэффициентов с помощью метода наименьших квадратов;

2)   дисперсионный анализ – для оценки адекватности модели.

Для того чтобы провести регрессионный анализ необходимо:

ü  чтобы количество экспериментальных данных было больше либо равно 30 на один вход;

ü  распределение выходной величины должно быть нормальным;

ü  в процессе эксперимента дисперсия выходной величины Yне меня­ется:   ;

ü  переменная X изменяется с пренебрежительно малыми ошиб­ками, то есть является детерминированной;

ü  выходные переменные X₁, X₂, … X_n стахостически независимы ме­жду собой: ;

ü  дискретность проведения экспериментов во времени берется та­ким образом, чтобы последовательно взятые значения Y₁, Y₂, Y₃  были стахостически независимыми, то есть  больше времени затухания автокор­реляционной функции;

ü  учет динамики в регрессионном анализе производится в виде транспортного запаздывания, которое определяется как время нахождения максимума взаимно корреляционной функции X и Y.

На основании этих предпосылок получают уравнение регрессионной модели методом наименьших квадратов.

Алгоритм расчета уравнения линейной регрессии МНК

1.  Проводим эксперимент, задаем не менее 30 значений X, ,  .