Построение одномерных моделей методом наименьших квадратов: Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу “Идентификация и диагностика систем”, страница 3

5.  Вид модального уравнения регрессии.

6.  Что такое линейный регрессионный анализ? 

7.  Компоненты регрессионного анализа.

8.  Как рассчитываются коэффициенты одномерной линейной рег­рессионной модели.

9.  Как рассчитать 95% ошибку аппроксимации.

ВРЕМЯ, ОТВЕДЕННОЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

Подготовка к работе – 0,5 акад. часа.

Выполнение работы – 0,5 акад. часа.

Расчеты на ЭВМ – 0,5 акад. часа.

Оформление работы – 0,5 акад. часа.

ЛитЕратура

1.  Идентификация объектов управления: учеб. пособие. / А. Д. Семенов,  Д. В. Арта­монов,  А. В. Брюхачев.  - Пенза: ПГУ, 2005. - 211 с.

2.  Основы теории идентификации объектов управления: учеб. пособие. / А.А. Иг­натьев, С.А. Игнатьев.  - Саратов: СГТУ, 2008. - 44 с.

3.  Теория вероятности и математическая статистика в примерах и зада­чах с применением EXCEL. / Г.В. Горелова, И.А. Кацко. - Ростов н/Д: Феникс, 2006.- 475 с.

Лабораторная работа № 2

Построение нелинейной одномерной модели методом

наименьших квадратов

Цель работы -  освоение метода построения нелинейной модели с применением линеаризации; освоение метода оценки адекватности модели и ошибки аппроксимации;  автоматизация процесса построения математи­ческой модели; освоение основных приемов работы в электронных табли­цах EXCEL.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Под нелинейной регрессией понимают более сложную односторон­нюю стохастическую зависимость. Наиболее часто встречаются следую­щие виды нелинейной регрессии:

Полиноминальное уравнение регрессии:

    ,                      (7)

Гиперболическое уравнение регрессии:

   ,                                                                                     (8)

Степенное уравнение регрессии: 

    .                                                                          (9)       

Могут применяться показательные, логарифмические, триго­нометрические уравнения, а также полиномы Чебышева.

Обычно подбор конкретной функции осуществляется на базе той науки в рамках которой изучается данный процесс.

Принято различать два класса уравнений нелинейной регрессии.

Первый класс охватывает регрессии нелинейные относительно входного параметра  х, но линейные относительно коэффициентов . Для таких регрессий применим метод наименьших квадратов.

Второй класс охватывает регрессии, которые являются нелиней­ными также относительно коэффициентов , что требует для применения итерационных методов.

Достаточно часто в различных технических исследованиях используется параболическая регрессия к-го порядка.

Для случая к=2 такая регрессия имеет вид:

                                                                              (10)

В этом случае для нахождения коэффициентов составляется система трех уравнений:

                                           (11)

Необходимо иметь в виду, что после вычисления коэффициента  все­гда должна осуществляться проверка их значимости по соответствую­щей методике и незначимые коэффициенты обнуляются.

При использовании степенного уравнения регрессии следует иметь в виду, что оно нелинейно относительно параметров , однако путем лога­рифмирования может быть преобразовано в линейное уравнение:

                                   (12)

Для определения неизвестных параметров  ,,… используется ме­тод наименьших квадратов.

Построение нелинейной модели путем линеаризации

Рассмотрим пример линеаризации степенного уравнения:

                             .                                                               (13)

Проведем логарифмирование и получим:

                         .                                                      (14)

Введем обозначения: