Формула Ньютона-Лейбніца. Методи обчислення визначеного інтегралу. Невласні інтеграли

Лекція 7

План.

1.  Формула Ньютона-Лейбніца.

2.  Методи обчислення визначеного інтегралу.

3.  Невласні інтеграли

1. Формула Ньютона-Лейбніца

Нехай функція  безперервна на відрізку  і  – яка-небудь її первісна на , тоді має місце формула

,

яка називається формулою Ньютона-Лейбница і служить для обчислення визначеного інтеграла.

Наприклад, .

2.  Методи обчислення визначеного інтегралу

Формула Ньютона-Лейбница дає загальний метод обчислення визначених інтегралів, що складає в тім, що для даної безперервної функції знаходять яку-небудь її первісну, а потім складають різниця значень цієї первісної при верхній і нижній межах інтегрування.

Наприклад: .

Очевидно, усі методи обчислення невизначених інтегралів можуть бути безпосередньо застосовані і до обчислення визначених інтегралів, при цьому самі обчислення в багатьох випадках значно спрощуються в порівнянні з обчисленнями, виробленими по загальному методі.

Метод підстановки

Якщо під знаком інтеграла стоїть складна функція  і поруч стоїть похідна складного аргументу , тобто маємо

,

тоді робимо підстановку  подібно тому, як робили це в невизначеному інтегралі, але знаходимо нові межі інтегрування, і тоді не потрібно повертатися до початкового перемінного.

Наприклад: .

Робимо підстановку:

Підставляємо в даний інтеграл:

.

Метод інтегрування вроздріб

Теорема. Нехай функції u(х) і v(х), задані на відрізку , мають там безперервні похідні, тоді

.

Наприклад: .

Покладемо

         

            

3. Невласні інтеграли.

Визначений інтеграл , де проміжок інтегрування  кінцевий, а підінтегральна функція  безперервна на відрізку , називають ще власним інтегралом.

Розглянемо так називані невласні інтеграли, тобто визначені інтеграли від безперервної функції, але з нескінченним проміжком інтегрування, або визначений інтеграл з кінцевим проміжком інтегрування, але від функції, що має на ньому нескінченний розрив.

Невласний інтеграл I роду

Нехай функція  безперервна на проміжку . Якщо існує кінцева межа , то його називають невласним інтегралом першого роду і позначають , у такий спосіб

.

У цьому випадку говорять, що невласний інтеграл  збігається.

Якщо ж зазначена межа не існує або він нескінченний, то говорять, що інтеграл  розбігається.

Аналогічно визначається невласний інтеграл на проміжку :

.

Невласний інтеграл із двома нескінченними межами визначається формулою:

,

де с – довільне число.

Інтеграл, що стоїть в лівій частині рівності, буде збігатися лише тоді, коли збігаються обидва інтеграли праворуч.

З геометричної точки зору інтеграли, що збігаються, з нескінченними межами можна розглядати (відповідно) як площі «нескінченних трапецій»:

Приклади.

1)    ,

тобто інтеграл збігається.

2)       , тобто інтеграл розбігається.

Невласний інтеграл II роду

Нехай функція  безперервна на проміжку  і має нескінченний розрив при . Якщо існує межа , то його називають невласним інтегралом другого роду і позначають , тобто .

Якщо межа існує, то невласний інтеграл  збігається. Якщо ж зазначена межа не існує або нескінченний, то говорять, що інтеграл  розбігається.

Аналогічно, якщо функція  терпить нескінченний розрив у крапці , то покладають .

Якщо функція  терпить розрив у внутрішній крапці с відрізка , то невласний інтеграл визначається формулою

.

Такі інтеграли записуються аналогічно попереднім.

Наприклад: обчислити .

При х=0 функція  терпить нескінченний розрив. Тоді запишемо

,

інтеграл збігається.