Теорія поля. Скалярне поле. Поверхні рівня. Градієнт. Векторне поле і векторні лінії. Потік вектора через поверхню, страница 2

Нехай точка  лежить на промені  ;  відстань  позначимо через . Проекції вектора  на вісі координат будуть  рівні , але  з іншогобоку ці проекції є різниці координат: кінцевої і початкової   .  Отже, . А звідси . Розглянемо приріст функції функції  при  переході від точки  до  точки :

.

Зрозуміло, що коли  точка  буде змінювати своє положення на промені , то в виразі для різниці  буде зміннюватися тільки величина . Щоб визначити похідну вздовж променя треба  знайти границю відношення  . А тому для похідної за напрямком маємо таке

Означення. Похідною від функції  у напрямку  в точціР називається границя (якщо вона існує) =

=.                                   (11.2)

Цю границю  будемо позначати символом  чи . Величина її залежить від обраної точки Р(х,у,z ) і від напрямку променя , тобто від .         Якщо точка Р фіксована, то величина похідної  буде залежати тільки від напрямку променя.  З визначення похідноїза напрямком випливає, що якщо напрямок  збігається з додатним напрямком осі Ох, тобто . Границя (11.2) буде просто дорівнювати частинній похідній від функції  по х:   

Аналогічну картину ми одержимо, якщо напрямок  буде збігатися з напрямками осей Оу й Оz.

Подібно тому як частинні похідні  характеризують швидкість зміни функції  у напрямках осей координат, так і похідна по напрямку  буде швидкістю зміни функції  у точці Р по напрямку променя .

Абсолютна величина похідної  у напрямку визначає величину швидкості, а знак похідної характер зміни функції  ( зростання  чи спадання).

Для практичного обчислення похідної по напрямку користуються наступною теоремою.

Теорема. Якщо функція  диференційовна, то її похідна  по будь-якому напрямку  існує і дорівнює                                     (11.3)

де напрямні косинуси променя , або координати одиничного вектора напрямку променя .

Доведення. Так, як  функція  диференційовна, то її повний приріст можна записати у вигляді: , де . Як це добре видно з рис 11.1, ( –прилеглі катети) , а тому  різницю  представимо  у вигляді  .

Знайдемо границю відношення .  Очевидно ця границя дорівнює так, як значення частинних похідних    в точці  Р, а також  від  не залежать, то, переходячи до границі при  одержимо

що і  потрібно було довести.

11.2. Градієнт

Розглянемо знову формулу для похідної по напрямку . Вище було зазначено, що - це координати одиничного вектора , а тому добуток можна розглядати як скалярний добуток одиничного вектора  на інший вектор  з координатами .  Цей вектор і назвали градієнтом, а позначили через   або .

Означення. Градієнтом функції  називається вектор, проекціями якого служать значення частинних похідних цієї функції, тобто

                                                                                                  (11.4)

Підкреслимо, що проекції градієнта залежать від вибору точки Р (х, у,z) і змінюються зі зміною координат цієї точки. Таким чином, кожній точці скалярного поля, визначеного функцією поля  відповідає визначений вектор – градієнт цієї функції. Відзначимо, що градієнт лінійної функції  є постійний вектор: . Повертаючись до початку цього пункту, ми бачимо, що                                                                                                            (11.5)

Таким чином. Похідна функції по даному напрямку дорівнює скалярному добутку градієнта функції на одиничний вектор цього напрямку.

З перетворення ,  ми бачимо що похідна функції по даному напрямку дорівнює проекції градієнта функції на напрямок   диференціювання, де -кут між вектором  і променем .

Звідси відразу випливає, що похідна по напрямку досягає найбільшого значення, коли , тобто при . Це найбільше значення дорівнює .

Отже, є найбільше можливе значення похідної  у даній точці Р, а напрямок   збігається з напрямком променя, що виходить із точки Р, уздовж якого функція міняється швидше всього, тобто напрямок градієнта є напрямок найшвидшого зростання функції. Ясно, що в протилежному напрямку функція  буде швидше всього спадати.

Доведемо тепер теорему, що встановлює зв'язок між напрямком градієнта функції і поверхнями рівня скалярного поля.

Теорема. Градієнт функції  у кожній точці спрямований по нормалі до поверхні рівня скалярного поля, що проходить через цю точку.

Доведення. Виберемо довільну точку Рівняння поверхні рівня, що проходить через точку  запишеться у вигляді  . Складемо рівняння нормалі до цієї поверхні в точці:.