Методи інтегрування лінійних неоднорідних систем з постійними коефіцієнтами

2.6 Методи інтегрування лінійних неоднорідних систем з постійними коефіцієнтами

Нехай дана лінійна неоднорідна система рівнянь із постійними коефіцієнтами:

 (k = 1,2,…,n)                                (2...147)

або рівносильне їй векторно-матричне рівняння:

                                                 (2. 148)

с квадратною матрицею коефіцієнтів  й n-мірних векторів

У п. 2.4, 2.5 дійсної глави розглянуте питання приведення до канонічного виду лінійної однорідної системи (2.101) або ж векторно-матричного рівняння:

                                                        (2. 149)

яке утворюється із (2.148) при Таке ж ствердження має місце й для лінійного неоднорідного векторно-матричного рівняння (2.148);

Теорема. Нехай дане лінійне неоднорідне векторно-матричне рівняння (2.148), де  й – n-мірні вектори, а – постійна матриця n-го порядку. Завжди існує лінійне не вироджене перетворення

  або                                               (2.150)

де – невироджена постійна матриця, обумовлена перетворенням подоби

                                                     (2. 151)

яке приводить рівняння (2.148) до векторно-матричного рівняння канонічного виду

де матриця – подібна матриця жорданової форми до матриці з матрицею подоби , а вектор .

Отже, лінійну неоднорідну систему рівнянь із постійними коефіцієнтами (2.147), також як і відповідну лінійну однорідну систему рівнянь, завжди можна привести до канонічного виду, причому перетворення , матриці й у них однакові.

Дійсно, з лінійного перетворення (2.150) рівняння (2.148) і перетворення подоби (2.151) треба, що:

або, з урахуванням позначення  одержуємо:

Відомо, що загальне розв'язання неоднорідної лінійної системи  дорівнює сумі загального розв'язання відповідної однорідної системи й частинного розв'язання неоднорідної системи

Оскільки для відповідних однорідних лінійних систем з постійними коефіцієнтами можна ефективно побудувати загальне розв'язання, то фундаментальні системи розв'язань стають відомими, а це дає можливість застосувати метод варіації довільних постійних до лінійних неоднорідних систем й одержати загальне розв'язання у квадратурах.

1. Метод варіації постійних знаходження частинних розв'язань лінійних неоднорідних систем

Розглянемо лінійні неоднорідні систем з постійними коефіцієнтами, зупинимося на прикладах застосування методу Лагранжа.

Приклад 26. Проінтегрувати неоднорідну систему рівнянь:

Розв’язання. Загальне розв'язання відповідної однорідної системи рівнянь має вигляд:

Шукаємо частинне розв'язання неоднорідної системи у вигляді:

                                      (2. 152)

У нашому випадку

Звідки:

Отже:

Підставляючи ці значення в систему (2.152), одержимо частинне розв'язання неоднорідної системи:

Тоді загальне розв'язання неоднорідної системи запишеться:

2. Метод невизначених коефіцієнтів знаходження частинних розв'язань лінійних неоднорідних систем

Розглянемо лінійну неоднорідну систему (2.147), у якій функції

  (k = 1,2,…,n)                                                  (2...153)

де – многочлен степеня  можуть бути дійсними або комплексними.

Відповідно до сформульованої теореми, розглянуту неоднорідну систему можна привести до канонічного виду, що складає з s груп рівнянь, де s - число всіх елементарних дільників матриці коефіцієнтів системи (2.127). Кожна з s груп рівнянь допускає послідовне інтегрування, починаючи з останнього рівняння.

а) якщо й , те частинне розв'язання даної неоднорідної системи (2.153) має вигляд:

  (i = 1,2,…,n),                                               (2...154)

де – многочлен степеня g.

При практичному знаходженні частинних розв'язань виду (2.154) можна використати метод невизначених коефіцієнтів. При цьому частинне розв'язання записується у вигляді (2.154), де – багаточлен з невизначеними коефіцієнтами ступеня g. Ці невідомі коефіцієнти рішення можна знайти підстановкою розв'язання у вихідну систему й прирівнюванням коефіцієнтів при однакових степенях t у лівих і правих частинах отриманих рівностей після скорочення на .

б) Якщо

і                       (2.155)

то частинне розв'язання шукаємо у вигляді:

                                 (2. 156)

де  й – многочлени з невизначеними коефіцієнтами степеня g, де g – більший степінь многочленів  й  , що входять у неоднорідність (2.155). Невідомі коефіцієнти поліномів  і  знаходяться методом невизначених коефіцієнтів, тобто підстановкою розв'язання в систему й порівнянням коефіцієнтів при подібних членах  й