Застосування криволінійних інтегралів, страница 6

Як ми знаємо з попередньої лекції, значення криволінійного інтегралу від повного диференціалу не залежить від шляху інтегрування, а залежить лише від координат початкової і кінцевої точок інтегрування, тому

                       Рис.9.8.                                       шлях інтегрування обираємо довільно. Нам найвигідніше інтегрувати вздовж ламаної лінії, кожна із ланок якої буде паралельна одній з осей координат. На рисунку це ОАВС. Тоді .

На відрізку ОА змінюється лише х ; , тому . На відрізку АВ змінюється лише у; , тому . На відрізку ВС змінюється лише z; , тому . Підставивши знайдені інтегрили остаточно одержимо  Це і є відповідь.

П.4. Знайти первісну функцію за її повним диференціалом .

Розвязок. Для того, щоб знайти первісну функції за її повним диференціалом проінтегруємо повний диференціал від якої-небудь конкретної точки, наприклад від , до поточної точки .. Інтегруємо вздовж ламаної , де В(х,0) . . На відрізку  змінюється лише х; . На відрізку ВМ змінюється лише у; . Враховуючи це матимемо:. . Інтегруючи обидва інтеграли частинами одержимо . Після очевидних перетворень прийдемо до рівності . Значення функції , тому остаточно .Тобто за повним диференціалом функції ми можемо відновити її лише з тосністю до постійної величини.

П.5. Знайти масу першого витка гвинтової лінії, якщо лінійна  густина цієї лінії в кожній її точці дорівнює радіус-вектору цієї точки.

Розв’язок:    знайдемо .  Очевидно, що 

 Знайдемо  

     =  =

одиниць маси. Це і є відповідь.

П.6. Знайти момент інерції відносно осі z першого витка гвинтової лінії .

Розв’язок. Використаємо формулу , де r­­­­­ – відстань від маси  до осі l. Tак   як відстань до осі 0Z у гвинтової лінії постійна і  дорівнює ,то

. Це і є відповідь.

П.7. Маса М розподілена рівномірно (з постійною густиною)  вздовж кола .Визначити силу, з якою ця маса діє на масу т , розміщену в точці .

Розв’язок. Визначимо функцію лінійної густтини маси на колі:  так, як довжина кола дорівнює . Візьмемо  елементарний відрізок довжини кола  і визначимо силу, з якою дуга маси  діє на масу т . Згідно закону Ньютона величина цієї сили  буде:  протилежний відрізок  діє на точку точно з такою ж за величиною силою . Сума двох векторів сил ­ – буде направлена вздовж осі 0Z  і по абсолютній величині дорівнює .  Так як , а , то . Нехай , тоді маємо , якщо рівняння кола задано в параметричній формі  , то  . Проінтегрувавши від 0 до  одержимо .      Відповідь:  Н.

Запитання для самоперевірки.

1.  Чому дорівнює робота сил поля Земного тяжіння при переміщенні маси т з висоти h на висоту H? Розгляньте випадок коли .

2.  Які поля ми називаємо потенціальними?

3.  Що ми називаємо потенціалом силового поля? Як його знайти?

4.  Чому дорівнює потенціал силового поля утвореного електричним зарядом q?

5.  Що характеризує ентропія?

6.  Чому дорівнює кількість рідини, яка проходить через криву L, якщо швидкість рідини ?

7.  Чому дорівнює кількість рідини, яка проходить через замкнутий контур L?

8.   Як знаходять роботу газу, який розширюючись рухає поршень?

9.  Як обчислити площу плоскої фігури обмеженої замкнутим контуром?

10.   Як обчислити площу циліндричної поверхні?

11.  Яке інше (крім маси кривої) можна дати тлумачення криволінійному інтегралу І-го типу?

Розвязати самостійно.

9.1. Поле утворене силою, яка направлена паралельно вісі у в протилежну їй сторону по величині рівною абсцисі точки прикладення. Знайти роботу сили поля при переміщенні маси т по параболі  від точки А(1;0) до точки В(0;1). Відп.-8т/15.

9.2. Поле утворене силою F=k/r , направленою перпендикулярно до радіуса-вектора точки прикладення. Знайти роботу поля при переміщенні матеріальної точки масою т по дузі першої чверті кола  із точки А(а;0) в точку В(0;а). Відп. .

9.3. Знайти масу дільниці ланцюгової лінії між точками х=0 і х=а, якщо густина кривої . Відп.

9.4. Обчислити площу кардіоїди: . Відп..