Гратчасті функції. Кінцеві різниці. Обчислення кінцевих різниць, додатків, первісних

Гратчасті функції. Кінцеві різниці. Обчислення кінцевих різниць, додатків, первісних.

Приклад 1. Знайти рішення різницевого рівняння

з початковими умовами , .

Розв’язання.

Застосуємо – перетворення до рівняння

;

;

;

;

;

.

Підставимо отримані коефіцієнти до початкового рівняння:

 – рівняння операторного вигляду.

Звідси маємо:

;

;

або

.

 – передаточна функція системи.                   

Нехай

.

З теореми про обернене перетворення маємо:

.

Згідно теореми про лишки отримуємо:

.

Звідси маємо:

;

.

Таким чином

;

.

Тоді

;

.

Звідси отримуємо відповідь:

.

Відповідь: .

Приклад 2. Знайдіть кінцеві різниці таких функцій:

– ;

– ;

– ;

– ;

– ;

– .

Приклад 3. Знайти рішення різницевих рівнянь

–

з початковими умовами , ;

–

з початковими умовами , .

Рівняння імпульсних систем автоматичного регулювання.

Визначення реакції на типові діяння.

Приклад 1. На рис. 1 зображен імпульсний фільтр. Імпульсний елемент ІЕ генерує прямокутні імпульси тривалістю, де , а період повторення . Передаточна функція неперервної частини

,

де , а . Визначити передаточну функцію фільтра сумісно з імпульсним елементом.

Розв’язання.

В даному випадку зображення Лапласу імпульсу, котрий генерується ІЕ при подачі на нього одиничного сигналу, буде дорівнювати

.

Приведена передаточна функція неперервної частини

.

Звідси маємо

,

де , а . Після підстановки числових значень маємо

.

Приклад 2. Знайти частотну передаточну функцію імпульсного фільтру з прикладу 1 залежно від абсолютної псевдочастоти.

Розв’язання.

В передаточній функції прикладу 1 перейдемо до -перетворення за допомогою підстановки . В результаті маємо

.

Перейдемо до абсолютної псевдочастоти  за допомогою підстановки :

.

Тут введена еквівалентна постійна часу

.

Підстановка числових значень дає . Передатна функція дорівнює

.

Приклад 3. Розв’язати приклад 1 за умовою, що відносна тривалість імпульсу .

Розв’язання.

В цьому випадку згідно

,

маємо

.

Приклад 4. Для імпульсного фільтру, зображеного на рис. 2, знайдіть логарифмічні амплітудну та фазову характеристики. Передатна функція неперервної частини

.

Початкові умови: , ,  та . Вважати, що послідовність імпульсів на виході ІЕ може бути змінена на послідовність -функцій.

Розв’язання.

Дискретна передатна функція імпульсного фільтру дорівнює

.                          (1)

Тоді маємо

,                                              (2)

де . Підставляючи (2) в (1), маємо

.

Використаємо підстановку :

.

Перейдемо до абсолютної псевдочастоти підстановкою

.

Тут . Підстановка числових значень дає

.

Логарифмічні амплітудна та фазова характеристики дорівнюють

,

.

Дискретне перетворення Лапласа. Обчислення зображень.

Знаходження оригіналу по наданому зображенню.

Приклад 1. Знайти -перетрорення для функції часу

,

визначеної для . Період дискретності  с. Значення коефіцієнтів: ,  та .

Розв’язання.

Маємо

.

Підстановка числових значень дає

.

Приклад 2. Знайти -перетрорення для функції часу, котра має таке зображення Лапласу

.

Розв’язання.

Розкладемо зображення на прості дроби

.

Тоді маємо

,

де , а  – період дискретності.

Приклад 3. Знайти -перетрорення для функції часу, котра має таке зображення Лапласу

.

Початкові дані: , , період дискретності .

Відповідь:

,

де .

Приклад 4. Знайти -перетрорення для функції часу

у трьох випадках: 1) ; 2) ; 3) .

Відповідь:

1) ; 2) ; 3) .

Приклад 5. Дано -перетрорення дискретної функції часу

,

де  – період дискретності. Визначити початкову функцію часу у точках  .

Розв’язання.

Ділення чисельника на знаменник дає нескінченний ряд (ряд Лорану)

.

Звідси можна отримати

.

Приклад 6. Дано -перетрорення дискретної функції часу

.

Знайти початкову гратчасту функцію часу розкладенням на прості дроби.

Розв’язання.

Знайдемо корні рівняння

.

Значення коренів: , . Далі подамо  у вигляду простих дробів                    .

Перший доданок праворуч відповідає оригіналу , а другий – , причому . Тому для оригіналу можна записати

.

Приклад 7. Знайти -перетрорення для функції часу

,

визначеної при  в дискретні моменти часу . Початкові дані: , , , , .

Відповідь:

.

Приклад 8. Визначити оригінал  по зображенню у вигляді дрібно-раціональної функції

.

Розв’язання.

Використаємо розклад Хевісайда для дрібно-раціональної функції з одним нульовим полюсом. Тоді

.

Коефіцієнти розкладу мають вигляд

.

Зображення у формі Хевісайда має вигляд

.

Використаємо теорему про лінійність а також й таблицю перетворень для кожного доданка, в результаті отримаємо

.

Графік функції оригіналу має вигляд, показаний на рис. *.

Рис. *

Стисло пояснимо алгоритм розв’язання диференційних рівнянь операторним методом на прикладі розв’язання диференційного рівняння 2-го порядку у загальному вигляді

,

де , , .

Застосуємо теорему про диференціювання для знаходження зображень похідних

, .

Нехай , тоді

.

Отримаємо операторне рівняння, використовуючи теорему лінійності

,

.

Розв’язуємо рівняння відносно ,

.

Знайдемо , використовуючи розклад Хевісайда

,

де , .

Особливо треба пригорнути увагу на отримання зображення східної функції , котра визначається таким чином: