Свойство рациональных чисел. Определение и сравнение действительных чисел. Точные грани числовых множеств. Операции над вещественными числами

 2 свойство рациональных чисел.

Натуральные числа, как отрицательные, так и положительные.

Рациональные числа обозначаются знаком Q. рациональные числа могут представляться в виде дроби p/q где p – Z, а q – N.

Свойства рацион. чисел сравнение, умножение, произведение.  Для двух рациональных чисел A и B существ. X, тогда B+X=A, где A-B=X

 Свойства

 1 Коммутативности: для любого A и B рацион.  A+B=B+A

  2 Ассоциативность: для любого A,B,C рацион. (A*B)*C=A(B*C)

  3 Дистрибутивность: (A+B)*C=AC+BC

  4 Сравнение: A=B A<B A>B

  5 A<B ,то A+C<B+C

  6 A<B и C>0 то A*C<B*C 

3 определение и сравнение действительных чисел

Любое рациональное число может быть бесконечным действительным числом.

Действительным числом будим называть а₀а₁а₂а₃…а_n     где а₀ – целое не отрец. Число.

Еcли же  действительное число не является периодической дробью, то его называют иррациональной дробью.

  α = а₀а₁а₂а₃…а_{n …}

   β = в₀в₁в₃…в_n…   тогда а=в когда а₀=в₀ а₁=в₁ … а_n=в_n  доказывается точно так же а<в

если а и в отрицательные, то сравниваем их модули.

   Для любого а и в (действительных) таких, что а<в существует рациональные числа (Q) такие, что α<r< β  

 a,b рациональные R= (α+β)/2

(α+α)/2<(а+β)/2<(β+β)/2

б и б’ два вещественных числа таких, что б≤б’ и для любое n натуральное существует x_n,y_n – рациональные таких, что x_n≤б≤б’≤y_n при чём Iy_n- x_nI<1/10ⁿ тогда б’=б

 

 

5 точные грани числовых множеств

Xсодержится в действительных чисел называется ограниченным сверху, если существует С действительное число такое, что любой x принадлежит Xвыполняет x≤C 

Xсодержится в действительных чисел называется ограниченным снизу, если существует С действительное число такое, что любой x принадлежит Xвыполняет x≥C 

Множество  Xсодерж. в действительных числах  называется ограниченным ели оно ограничено сверху и снизу.

M=supX если 1(для любого x принадл. X выполняет x≤M) 2(для любого M’<M сущ. X_M принадл.X : X_M’>M’)

m=infX  1(для любого xпринадл. X выполн. m≤x) 2(для любого ε>0 сущ.x_ε принадл.X: x_ε<m+ ε

всякое не пустое множество R ограниченное сверху(снизу) имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

6 операции над вещественными числами

Пусть α и β два действительных числа (обозначаются α+β) а называются суммой чисел α и β, если для любого r₁s₁r₂s₂- рациональных таких что r₁≤ α≤s₁ так же r₂≤ β ≤s₂      r₁+r₂≤ β≤s₁s₂

Для любого α,β – действительного сущ. единст. их сумма  α+β

  Понятие произведения действительных чисел. Пусть α,β положительные действительные числа α*β=б действительные числа такие, что для любого r₁s₁r₂s₂ – рационального где 0<r₁≤ α≤s₁      0<r₂≤ β≤s₂  выполняется неравенство r₁r₂≤ α*β ≤ s₁s₁ если же α<0, β>0 то α*β= -IαI* β    или α>0, β<0 то α*β= -I β I*α  если же α<0, β<0 то α*β= IαI* IβI   если же α=0, а β≠0, то α*β=0

7 счётные и несчётные множества.

Множества A и В называются эквивалентными если ними можно установить взаимно однозначное соотношение так, что различным элементам множества А соответствуют различные элементы множества В. Для любого элемента В найдётся элемент принадлежащий А, которому он соответствует. И на оборот.

8 понятие последовательности и её придел.

 Если каждому N для любого n натурального поставлено в соответствие X_n действительного числа, то говорят, что задана последовательность действительных чисел x₁,x₂,…,x_n  

Понятие придела последовательности limX_n=a, если для любого ε>0 сущ.Nε : любое n≥Nε выполняет Ix_n-aI< ε

    Если последовательность имеет придел, то он единственный.

10  ограниченность сходящийся последовательности.

Последовательность {x_n} называется ограниченной снизу, если сущ. с₁ действительное такое, что для любого n натур. выполняется x_n≥c₁ точно так же доказываем ограниченность сверху. Последовательность {x_n} называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу. Если последовательность {x_n} сходящейся, то она ограниченная.

11 принцип двухстороннего ограничения.

Пусть даны 3 послед. {x_n}{y_n}{z_n} : для любого n натурального x_n≤ y_n≤ z_n и   limx_n=limz_n=a тогда limy_n=a

limx_n=a limy_n=b тогда a<b  сущ. N: ¥n≥N выполн. x_n<y_n

15 свойства бесконечно малой и бесконечно большой последовательности.

{a_n} наз. (БМ) если lima_n=0 т.е.для любого ε>0 сущ. Nε : любое n≥Nε выполн. Ia_nI<ε

Суммой, разностью, произведение и частным двух послед. {x_n}{y_n} наз. Соотношение {x_n+y_n}{x_n*y_n}{x_n/y_n}

Сумма двух бескон. Малых послед. является бесконечно малой, если  {a_n},{β_n} бескон. малой, то {a_n+β_n}

{x_n} наз. (Б.Б) если для любого А>0 сущ. Na : любое n≥Na выполн. Ix_nI>A

limXn=∞

limXn=+∞  для любого А>0 сущ. Na : любое n≥Na выполн. x_n>A

limXn= -∞   для любого А>0 сущ. Na : любое n≥Na выполн. x_n≤ -A

16 арифметические операции над сходящимися последовательностями.

Пусть limXn=a    limYn=b тогда lim(Xn+Yn)=a+b lim(Xn-Yn)=a-b lim(Xn*Yn)=a*b

lim(Xn/Yn)=a/b где (Yn,b≠0)

17 понятие и признак сходимости монотонной последовательности.

 {x_n} наз. Возр. Если любое n натуральн. выполн.  x_n< x_n+1

  {x_n} наз. убыв. Если любое n натуральн. выполн.  x_n,> x_n+1

Возраст. Убыв. Послед. называется монотонной.

Если {x_n} не убывает и огран. Сверху, то сущ.limXn=sup{Xn}. Если {Xn} не возрастает и не ограничена снизу, то равен сущ.limXn=inf{Xn}

                                                            ^n-∞

Число Е

E=lim(1+1/n)ⁿ   второй замечательный предел.

        ^n-∞

18 теорема Кантора о вложения отрезка.

Пусть {[a_n,b_n]}: 1) [a_n,b_n]> [a_n+1,b_n+1] любое n натуральное.  2) lim(b_n-a_n)=0 тогда сущ. к! точка С пренадл.  [a_n,b_n] где любое n натуральное.

понятие под последовательности и частичных приделов.

 Пусть {Xn} и сущ. limXn=a

Или ∞ для некоторой под послед. {Xn} тогда а или ∞ наз. Частичным приделом {Xn}

Док-во.  {a_n} монотонна не убывает и огран. Сверху сущ. limАn=с=sup{An} An≤c

{Bn} монотонна не возраст. И огран. Снизу  ¥An следует сущ. Lim{Bn}= inf{Bn} =c1

Поскольку An≤Bn и с=с1 с1≤Bn An≤c≤c1≤Bn следов сc1 € [An,Bn] ¥n€N

19 понятие под последовательности, верхнего и нижнего приделов.

{Xn} ограничено L мн-во всех частичных приделов. {Xn}

 SupL назыв. Верхним приделом {Xn} и обозн. limXn 

infL назыв. Нижним приделом {Xn} и обозн. limXn     

20 понятие фундаментальной последовательности и её ограниченности.

{Xn} назыв. Фундаментальной если для любого ε>0 сущ.Nε : любое n≥Nε и любое m≥ Nε выполняет IXn-XmI< ε 

21 Критерии Каши и сходимости последовательности.

Для того, чтобы {Xn} сходилась необходимо достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Док-во. Пусть Хn сходится т.е. для любого ε>0:Nε€N: ¥n≥Nε выполн. |Xn-a|<ε

Тогда |Xn-Xm|=|Xn-a+a-Xm|≤|Xn-a|+|Xm-a|<ε/2+ε/2 при n≥Nε и m≥Nε по определению фундаментальности Nε=Nε’ получим, что Xn фундаментальным. Доказано.

У всякого огран. Последов. Сущ. сходящаяся под последовательность.

22 понятие функции и операции над ними.

Пусть Х содерж. R если для любого x принадл. Х поставлено в соответствии по некоторому правилу вполне определённое числоY, то говорят, что на X задана числовая функция. При этом пишут y=f(x), x принадл. X