2 свойство рациональных чисел.
Натуральные числа, как отрицательные, так и положительные.
Рациональные числа обозначаются знаком Q. рациональные числа могут представляться в виде дроби p/q где p – Z, а q – N.
Свойства рацион. чисел сравнение, умножение, произведение. Для двух рациональных чисел A и B существ. X, тогда B+X=A, где A-B=X
Свойства
1 Коммутативности: для любого A и B рацион. A+B=B+A
2 Ассоциативность: для любого A,B,C рацион. (A*B)*C=A(B*C)
3 Дистрибутивность: (A+B)*C=AC+BC
4 Сравнение: A=B A<B A>B
5 A<B ,то A+C<B+C
6 A<B и C>0 то A*C<B*C
3 определение и сравнение действительных чисел
Любое рациональное число может быть бесконечным действительным числом.
Действительным числом будим называть а0а1а2а3…аn где а0 – целое не отрец. Число.
Еcли же действительное число не является периодической дробью, то его называют иррациональной дробью.
α = а0а1а2а3…аn …
β = в0в1в3…вn… тогда а=в когда а0=в0 а1=в1 … аn=вn доказывается точно так же а<в
если а и в отрицательные, то сравниваем их модули.
Для любого а и в (действительных) таких, что а<в существует рациональные числа (Q) такие, что α<r< β
a,b рациональные R= (α+β)/2
(α+α)/2<(а+β)/2<(β+β)/2
б и б’ два вещественных числа таких, что б≤б’ и для любое n натуральное существует xn,yn – рациональные таких, что xn≤б≤б’≤yn при чём Iyn- xnI<1/10n тогда б’=б
5 точные грани числовых множеств
Xсодержится в действительных чисел называется ограниченным сверху, если существует С действительное число такое, что любой x принадлежит Xвыполняет x≤C
Xсодержится в действительных чисел называется ограниченным снизу, если существует С действительное число такое, что любой x принадлежит Xвыполняет x≥C
Множество Xсодерж. в действительных числах называется ограниченным ели оно ограничено сверху и снизу.
M=supX если 1(для любого x принадл. X выполняет x≤M) 2(для любого M’<M сущ. XM принадл.X : XM’>M’)
m=infX 1(для любого xпринадл. X выполн. m≤x) 2(для любого ε>0 сущ.xε принадл.X: xε<m+ ε
всякое не пустое множество R ограниченное сверху(снизу) имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.
6 операции над вещественными числами
Пусть α и β два действительных числа (обозначаются α+β) а называются суммой чисел α и β, если для любого r1s1r2s2- рациональных таких что r1≤ α≤s1 так же r2≤ β ≤s2 r1+r2≤ β≤s1s2
Для любого α,β – действительного сущ. единст. их сумма α+β
Понятие произведения действительных чисел. Пусть α,β положительные действительные числа α*β=б действительные числа такие, что для любого r1s1r2s2 – рационального где 0<r1≤ α≤s1 0<r2≤ β≤s2 выполняется неравенство r1r2≤ α*β ≤ s1s1 если же α<0, β>0 то α*β= -IαI* β или α>0, β<0 то α*β= -I β I*α если же α<0, β<0 то α*β= IαI* IβI если же α=0, а β≠0, то α*β=0
7 счётные и несчётные множества.
Множества A и В называются эквивалентными если ними можно установить взаимно однозначное соотношение так, что различным элементам множества А соответствуют различные элементы множества В. Для любого элемента В найдётся элемент принадлежащий А, которому он соответствует. И на оборот.
8 понятие последовательности и её придел.
Если каждому N для любого n натурального поставлено в соответствие Xn действительного числа, то говорят, что задана последовательность действительных чисел x1,x2,…,xn
Понятие придела последовательности limXn=a, если для любого ε>0 сущ.Nε : любое n≥Nε выполняет Ixn-aI< ε
Если последовательность имеет придел, то он единственный.
10 ограниченность сходящийся последовательности.
Последовательность {xn} называется ограниченной снизу, если сущ. с1 действительное такое, что для любого n натур. выполняется xn≥c1 точно так же доказываем ограниченность сверху. Последовательность {xn} называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу. Если последовательность {xn} сходящейся, то она ограниченная.
11 принцип двухстороннего ограничения.
Пусть даны 3 послед. {xn}{yn}{zn} : для любого n натурального xn≤ yn≤ zn и limxn=limzn=a тогда limyn=a
limxn=a limyn=b тогда a<b сущ. N: ¥n≥N выполн. xn<yn
15 свойства бесконечно малой и бесконечно большой последовательности.
{an} наз. (БМ) если liman=0 т.е.для любого ε>0 сущ. Nε : любое n≥Nε выполн. IanI<ε
Суммой, разностью, произведение и частным двух послед. {xn}{yn} наз. Соотношение {xn+yn}{xn*yn}{xn/yn}
Сумма двух бескон. Малых послед. является бесконечно малой, если {an},{βn} бескон. малой, то {an+βn}
{xn} наз. (Б.Б) если для любого А>0 сущ. Na : любое n≥Na выполн. IxnI>A
limXn=∞
limXn=+∞ для любого А>0 сущ. Na : любое n≥Na выполн. xn>A
limXn= -∞ для любого А>0 сущ. Na : любое n≥Na выполн. xn≤ -A
16 арифметические операции над сходящимися последовательностями.
Пусть limXn=a limYn=b тогда lim(Xn+Yn)=a+b lim(Xn-Yn)=a-b lim(Xn*Yn)=a*b
lim(Xn/Yn)=a/b где (Yn,b≠0)
17 понятие и признак сходимости монотонной последовательности.
{xn} наз. Возр. Если любое n натуральн. выполн. xn< xn+1
{xn} наз. убыв. Если любое n натуральн. выполн. xn,> xn+1
Возраст. Убыв. Послед. называется монотонной.
Если {xn} не убывает и огран. Сверху, то сущ.limXn=sup{Xn}. Если {Xn} не возрастает и не ограничена снизу, то равен сущ.limXn=inf{Xn}
n-∞
Число Е
E=lim(1+1/n)n второй замечательный предел.
n-∞
18 теорема Кантора о вложения отрезка.
Пусть {[an,bn]}: 1) [an,bn]> [an+1,bn+1] любое n натуральное. 2) lim(bn-an)=0 тогда сущ. к! точка С пренадл. [an,bn] где любое n натуральное.
понятие под последовательности и частичных приделов.
Пусть {Xn} и сущ. limXn=a
Или ∞ для некоторой под послед. {Xn} тогда а или ∞ наз. Частичным приделом {Xn}
Док-во. {an} монотонна не убывает и огран. Сверху сущ. limАn=с=sup{An} An≤c
{Bn} монотонна не возраст. И огран. Снизу ¥An следует сущ. Lim{Bn}= inf{Bn} =c1
Поскольку An≤Bn и с=с1 с1≤Bn An≤c≤c1≤Bn следов сc1 € [An,Bn] ¥n€N
19 понятие под последовательности, верхнего и нижнего приделов.
{Xn} ограничено L мн-во всех частичных приделов. {Xn}
SupL назыв. Верхним приделом {Xn} и обозн. limXn
infL назыв. Нижним приделом {Xn} и обозн. limXn
20 понятие фундаментальной последовательности и её ограниченности.
{Xn} назыв. Фундаментальной если для любого ε>0 сущ.Nε : любое n≥Nε и любое m≥ Nε выполняет IXn-XmI< ε
21 Критерии Каши и сходимости последовательности.
Для того, чтобы {Xn} сходилась необходимо достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Док-во. Пусть Хn сходится т.е. для любого ε>0:Nε€N: ¥n≥Nε выполн. |Xn-a|<ε
Тогда |Xn-Xm|=|Xn-a+a-Xm|≤|Xn-a|+|Xm-a|<ε/2+ε/2 при n≥Nε и m≥Nε по определению фундаментальности Nε=Nε’ получим, что Xn фундаментальным. Доказано.
У всякого огран. Последов. Сущ. сходящаяся под последовательность.
22 понятие функции и операции над ними.
Пусть Х содерж. R если для любого x принадл. Х поставлено в соответствии по некоторому правилу вполне определённое числоY, то говорят, что на X задана числовая функция. При этом пишут y=f(x), x принадл. X
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.