Уравнения плоскости и прямой

6. Уравнения плоскости и прямой

6.1. Геометрические способы задания прямой и плоскости

Приведем некоторые сведения из школьного курса геометрии, касающиеся прямой и плоскости. Известно, что математические утверждения делятся на аксиомы и теоремы. Аксиомы принимаются без доказательства, а теоремы являются логическими следствиями из системы аксиом. Не будем разделять аксиомы и теоремы, объединяя их общим термином «утверждения».

Утверждение 1. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

Утверждение 2. Через любую точку, не лежащую на прямой, проходит другая прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Утверждение 3. Через любые три точки, не лежащие на прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Утверждение 4. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.

Утверждение 5. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная плоскости и притом только одна.

Утверждение 6. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Опираясь на утверждения 1-6, и учитывая, что любой отрезок (направленный или ненаправленный) полностью определяет прямую, частью которой он является, перечислим некоторые способы задания плоскости.

Способы задания прямой

Способы задания плоскости

6.2.Уравнения плоскости

Выберем в пространстве декартову прямоугольную систему координат с базисом . В некоторых случаях, вместо термина «система координат» удобнее применять термин «репер»

Определение 6.1. Репером или системой координат в пространстве называют упорядоченный набор , состоящий из зафиксированной точки пространства , называемой началом координат, и базиса пространства.

Каждая точка  определяет вектор =, приложенный к началу координат. Координатами вектора = являются координаты точки . Вектор  называют радиус-вектором точки  . Любая пара точек   и определяет вектор =, координатами которого являются разности координат точек  и : =.

Пусть = - точка и вектор в этом пространстве. Они однозначно определяют плоскость , проходящую через точку  и перпендикулярную вектору [1]. Пусть также - любая точка, лежащая в плоскости , не совпадающая с . Отрезок , а значит и вектор перпендикулярны вектору . Следовательно, скалярное произведение векторов  и  равно нулю:

==0.

Переобозначим: . Тогда координаты любой точки, лежащей в плоскости , удовлетворяют равенству:

В то же время, если точка не лежит в плоскости , то ее координаты не удовлетворяют равенству (6.1). Равенство (6.1) называют уравнением плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Раскроем скобки в уравнении (6.1) и обозначим число . Равенство (6.1) примет вид:

которое называют общим уравнение плоскости.

Геометрический смысл коэффициентов в уравнении (6.2) очевиден: то координаты известного вектора нормали к плоскости =(). Выясним геометрический смысл свободного члена уравнения, числа . Найдем =, то есть вектор сонаправленный  и имеющий единичную длину (см. стр  ). =(), причем =1 или . Чтобы нормировать вектор , надо его координаты (), разделить на его длину, то есть на число . Получим:

 =()=.

Разделим уравнение (6.2) на длину вектора :

где . Уравнение (6.3) называют нормированным уравнением плоскости.

Рассмотрим вектор =(). При любом  он коллинеарен вектору , его начало совпадает с началом координат. Подберем  таким, чтобы конец вектора  лежал на плоскости. Тогда - это расстояние от начала координат до плоскости. Концом искомого вектора является точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (6.3):

.

Обозначим расстояние от начала координат до плоскости . Тогда =  при , то есть:  

 .

Итак, абсолютная величина свободного члена в общем уравнении плоскости есть произведение расстояния от начала координат до плоскости на длину ее нормального вектора. Если уравнение плоскости нормировано, то абсолютная величина свободного члена есть расстояние от начала координат до плоскости.

Пусть заданы три точки,  и .Эти точки однозначно определяют плоскость, в которой они лежат. Пусть также - любая точка, лежащая в плоскости , не совпадающая ни с одной из точек ,  или . Векторы ,  и  компланарны. Следовательно, их смешанное произведение () равно нулю (см. стр.  ), то есть справедливо равенство:

которое называют уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки.

Пользуясь свойствами определителей, представим определитель в равенстве (6.5) в виде суммы двух определителей:

=+.

Первой строкой определителя  являются переменные ,  и . Разложив его по первой строке, получим:

=-

-+

+=,

где  - коэффициенты перед переменными, полученные в результате вычислений. Обозначим число, полученное в результате вычисления определителя  через .

После этих преобразований, уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, примет вид общего уравнения плоскости: .

Плоскость однозначно определена, если указаны точка, лежащая в этой плоскости, и два неколлинеарных вектора, параллельных этой плоскости. Пусть - точка, лежащая в плоскости , = и = - два неколлинеарных друг другу вектора, причем оба параллельны плоскости . Векторное произведение векторов  и