A= f(a+0)=f(a-0) тогда f не прерывна в т.а
Локальные свойства непрерывной функции
Утверждение 1. Если f непрерывна в т.Х0, то сущ.Uб(Х0) на которой f огр. т.е. сущ.с:¥x€Uб(X0) выполн. |f(x)|<c
Док-во. т.к. сущ. limf(x)=f(X0) (при х стрем. X0), то по свойствам пределов сущ.Uб(X0) сущ.с:¥x€Uб(X0) выполн. |а(х)|<c для некотор. с. Положим С1=max(c,f(X0)) тогда С1 искомое. Доказано.
Утверждение 2. Если f не прерывна в т.X0 и f(X0)≠0 то сущ.Uб(X0):f сохран. Знак f(X0) (т.е. если f(X0)>0, то ¥х€Uб(X0) выполн. f(x)<0)
Понятие сложной функции и её непрерывности.
Пусть функция z=f(y) опред. на множестве y=д(f), а функция y=ч(x) оаред. X=д(ч) если множество. Знач. Е(ч)=f(ч(х)) которой назыв. Сложной функцией или композицией функции f и ч и обозн. f0ч
Пусть функция z=f(y) непрерывна в т.y0, а функция y=ч(x) не прерывна в т.x0 : причём y0=ч(x0) тогда в нек. Окрест. Т x0 опред. сложная функция f(ч(х)) и она непрерывна в т. X0
В силу опред. непрерывности сущ.ε – окрестн. т.y0 в которой опред. f т.к. y0=ч(x0) и ч непрерывна в т.x0 , то в силу окрестн. опред. непрерывн. Применённого функции ч для рассмотрен. ε – сущ.бε>0:¥x€Uбε(x0) выполн. ч(х)€Uε(ч(х0))=Uε(y0) тоесть в окрестн. Uбε(х0) опред. сложная функция f(ч(х))
Докажем непрерывность сложн. Функции. f(ч(х)) в т.х0 воспольз. Опред. по гейне.
Пусть {Xn} произв. Послед. Такая, что limXn=X0 (при n стрем. ∞) (и Xn€Uбε(х0))
В силу непрерывности f(ч) т.х0 и по опред. по гейне limЧ(Xn)=Ч(х0)=y0 теперь в силу непрер. f(ч(Xn)) выполн. f(y0) при n стрем. ∞ след. В силу непрерывности по гейне сложная функция непрерывна в т.х0
1-я теорема Вейерштрасса
пусть f непрерывна на отрезке [a,b] (т.е. f непрер. в каждой т. х0€(а,b) и непрерывна справа в т.а и слева в т.b тогда f огран. На [a,b] (f огран. На х если сущ.c>0:¥x€X выполн. |f(x)|≤c)
док-во. от противного предположим f не огран. На отрезке [a,b] т.е. ¥с>0 сущ.хс€[a,b]:|f(xc)|>c будем полагать, что с= натур. Числу. Тогда ¥n€N сущ Xn€[a,b]:|f(Xn)|>n следовательно {Xn}:a≤Xn≤b т.е. {Xn} огран. В силу леммы Вейерштрасса сущ.{Xnk}:limXnk=∑ очевидно а≤ Xnk ≤b в силу свойств сход. Послед. Связанных с неравенством а≤∑≤b следов. F непрерывна в т.∑ тогда на основ. Опред. по гейне limf(Xnk)=f(∑) (при k стрем. ∞) с другой стороны |f(Xnk)|> nk стрем. ∞ при k стрем. ∞
limf(Xnk)=+∞ (при k стрем. ∞) противоречие с тем, что limf(Xnk)=f(∑)
2-я теорема Вейерштрасса
пусть f непрерывна на отрезке [a,b] тогда f достигает на этом отрезке своих точных граней т.е. Тогда сущ.∑€ [a,b]:f(∑)=supf(x)=maxf(x) и сущ.∑€ [a,b]:f(∑)=inff(x)=minf(x)
рассмотрим x={f(x):x€[a,b]} по 1-й теореме Вейерштрасса f огран. На отрезке [a,b] =>x ограничена. По первой основной теореме сущ.supX=m и сущ.infX=m
докажем, что ф-ция f достигает точной верхней грани на отрезке [a,b] . по опред. точной верхней грани выполн. следующ. Условие 1)¥x€[a,b] выполн. f(x)≤M 2)¥ε>0 сущ.Xε€[a,b]:f(Xε)>M-ε положим ε=1/n, n€N сущ.{Xn}:Xn€[a,b] и f(Xn)>M-1/n
f(Xn)≤M ¥n€N тогда M-1/n<f(Xn)≤M<M+1/n в силу принципа двухстороннего опред. limf(Xn)=M (при n стрем. ∞)
теорема Коши о нулях непрерывной функции.
Пусть f не опрерывна [a,b] и приним. На его концах значение разных знаков, т.е. f(a)f(b)<0 тогда сущ.с€(a,b):f(c)=0
Док-во. разделим отрезок [a,b] пополам и обозначим d, очевидно на одном из отрезках [a,d] и [d,b] функция принимает разные значения или f(d)=0 теорема доказана с=d разделим пополам тот из отрезков на концах которого функция принимает значение разных знаков, если в точке деления функция равна 0 теорема доказана. Продолжая возможный процесс у нас будет 2 возможности. 1) значения функции точки деления равна нулю на некотором шаге или мы полечим бесконечную систему отрезков [an,bn]: [an,bn]כּ[an+1,bn+1] и f(an)-f(bn)<0 ¥n€N и lim(bn-an)=lim(b-a)/2n=0 (при n стрем. ∞) в силу теоремы кантора о вложенных отрезках сущ. т.с€[an,bn] ¥т€Т
Теорема Коши о промежуточных значениях и её следствия.
Пусть функция f непрерывна на [a,b] тогда ¥с расположено между f(a) и f(b) (c€[f(a),f(b)] или с€[f(b),f(a)] сущ. ∑€[a,b]:f(∑)=c
Док-во. если с=f(a) или с=f(b), то теорема очевидна (∑=а или ∑=b) пусть f(a)<f(b) f(a)<c<f(b) Ч(x)=f(x)-c Ч(a)<0 Ч(b)>0 по теореме 4 сущ.∑€[a,b]:Ч(∑)=0 или f(∑)=c теорема доказана.
Следствие из теоремы 5
Пусть f не прерывна на [a,b] и m=inff(x), M=supf(x) тогда E(f)=[m,M]
док-во. по 2-й теореме Вейерштрасса сущ.∑’,∑”:f(∑’)=m, f(∑”)=M ∑’,∑”€ [a,b] по теореме 5 ¥с€[m,M] сущ.∑€[a,b]:f(∑)=c E(f)={f(x):x€[a,b]}
понятие, существование и непрерывность обратной функции.
Y=f(x), x€X=д(f) если ¥€E(f) сущ.и!x€X:f(x)=y, то на E(f) определена ф-ция которая каждаму y=E(f) ставит в соответствие x€X:f(x)=y её называют обратной ф-цией f-1 функцию f назыв. Обратной. Обратная ф-ция обладает след. Свойствами. 1) д(f-1)=E(f) E(f-1)=д(f) 2) f(f-1(y))=y, ¥y€E(f) f-1(f(x))=x ¥x€д(f) 3)графики ф-ции f(x) и f-1(x) семетричны относительно прямой y=x 4)если f возрастает (убывает) f-1
Пусть f возрастает, убывает и непрерывна на отрезке [a,b] тогда на отрезке [f(a),f(b)]([f(b),f(a)]) определена возраст., убывает и непрерывна f-1
Понятие равномерной непрерывности функции и теорема кантора.
Пусть множества M сод.R и M сод. д(f) f называется равномерной, непрерывной на множестве M, если ¥ε>0 сущ.бε>0:¥x1x2€M:|x1-x2|<бε выполн. |f(x1)-f(x2)|<ε если ф-ция равномерна, непрерывна на [a,b], то она и не прерывна на этом отрезке. Это следует из опред. равномерной непрерывности.
Теорема кантора
Если ф-ция f непрерывна на [a,b], то f равномерна, непрерывна на ней.
Непрерывность и её связь с арифметическими операциями.
Если ф-ция f и g непрерывна в точке x0 то ф-ции f+g, f-g, f*g, f/g (g≠0)
Непрерывность рациональной и степенной функции.
Рассмотри ф-цию y=xn , n€N, x≥0 эта ф-ция возрастает на указанном полуинтервале т.к. [0;+∞) x2n-x1n=(x2-x1)(x2n-1+ x2n-2 x1+…+x2x1n-2+x1n-1)>0 доказали, что возраст. X1<X2 и так y=xn возрастает и непрерывна обратная ф-ция y=x1/n, x€[0,+∞) если r=m/n можно опред. функцией y=xr=(x1/n)m, x>0 где an=1/an , n€N
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.