Представление комплексного числа в полярной форме. Построение графика сигнала путём масштабирования и сдвига. Определение характеристик системы. Определение характеристик периодического сигнала

            МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

НОВОСИБИРСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ 
УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ  АВТОМАТИКИ  И  ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ  ТЕХНИКИ

Кафедра  Систем Сбора и Обработки Данных

РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

по курсу «Теория и обработка сигналов»

Вариант 3

Группа: АТ-73                                                                             Преподаватель: доц. Щетинин Ю.И.

Студент: Кухарева А.В.

Новосибирск

 2009

1.  Представление комплексного числа в полярной форме.

Запишем комплексное число  в показательной (полярной) форме, воспользовавшись выражением (1).

                                                                                                            (1)

2.  Построение графика сигнала путём масштабирования и сдвига.

По графику сигнала  путем его масштабирования и сдвига построим график сигнала .

Для этого увеличим амплитуду сигнала  в 2 раза и сдвинем его на 1 отсчёт влево вдоль оси Ot .

С помощью следующей последовательности команд построим график сигнала и сдвинутого сигнала .

t = -8:0.01:8;

y = 2*sin(t+1);

y1 = sin(t);

plot(t,y,t,y1), grid

Рис. 1. График сигнала и сдвинутого сигнала .

3.  Определение характеристик системы.

Дана дискретная во времени система с уравнением .

Система является линейной, если для неё справедлив принцип суперпозиции:

Если , то

Проверим, линейна ли заданная система.

Пусть при   и при  .

Если , то , значит, система линейна.

Система является стационарной (инвариантной во времени),  если временной сдвиг сигнала на входе вызывает такой же сдвиг сигнала на выходе системы.

Проверим, стационарна ли заданная система.

Если , то , значит, система не стационарна.

Система является осуществимой (каузальной), т.к. зависит только от настоящих значений аргумента n, но не от будущих.

Итак, выяснили, что система является линейной, нестационарной и каузальной.

4.  Определение характеристик периодического сигнала.

Периодический сигнал x(t) задан графиком, представленным на рис.2.

Рис. 2. График периодического сигнала x(t).

Определим характеристики данного сигнала:

а) максимальное за период значение

б) среднее за период значение

                                 (2)

в) среднеквадратичное значение

                                                      (3)

г) средняя мощность за период

                                                                                         (4)

5.  Разложение периодического сигнала в ряд Фурье и построение его спектров.

Для сигнала x(t) (рис.2) выполним разложение в комплексный ряд  Фурье.

Определим коэффициенты  комплексного ряда Фурье по выражению .

                                                                                                                   (5)

Сигнал x(t)  периодический с периодом T = 4 и угловой частотой .

Таким образом, получили                                                              (6)

и комплексный ряд Фурье можно записать в виде (7).

                                                                     (7)

Используя выражение (6), построим амплитудный и фазовый спектры сигнала x(t) с помощью следующего script-файла.

omega = pi/2;

N = input('Number of harmonics    ');

X0 = 0.5;

k1 = -N:-1;

X1 = (1./(4*(k1.^2)*(omega^2))).*(1-cos(2*k1*omega));

k2 = 1:N;

X2 = (1./(4*(k2.^2)*(omega^2))).*(1-cos(2*k2*omega));

X = [X1 X0 X2];

k = [k1 0 k2];

subplot(2,1,1);

stem(k*omega, abs(X));

title('Амплитудный спектр')

subplot(2,1,2);

stem(k*omega, angle(X));

title('Фазовый спектр')

xlabel('wk')

Полученные результаты представлены на рис.3.

Рис. 3. Амплитудный и фазовый спектры сигнала x(t).

Амплитуды гармоник с возрастанием номера гармоники уменьшаются как .

Это объясняется тем, что данный сигнал не имеет разрывов.

Сигнал  чётный, значит, коэффициенты .

Следовательно,  и фазовый спектр сигнала нулевой.

Используя выражение (7) построим графики сигнала и ряда Фурье с числом гармоник 

N = 5, 10, 20 с помощью следующего script-файла.

T=4;

w0 = 2*pi/T;

t = -T:T/1000:T; % интервал времени

% исходный сигнал

x1=tripuls(t,4)+tripuls(t-4,4)+tripuls(t+4,4);

N = input('Number of harmonics    ');

N = 4;

c0 = 0.5;

x = c0*ones(1,length(t)); % постоянная   составляющая

for n=1:N,

% коэффициенты Фурье

cn = (1./(4*(n.^2)*(w0^2))).*(1-cos(2*n*w0));

c_n = conj(cn);

% Приближение сигнала рядом Фурье

x = x + cn*exp(j*n*w0*t) + c_n*exp(-j*n*w0*t);

end

plot(t,x,t,x1, '--r'), grid

title(['N = ',num2str(N)])

Полученные результаты представлены на рис. 4 – 6.

Рис. 4. График сигнала и его приближения рядом Фурье при числе гармоник N=5.

 

Рис. 5. График сигнала и его приближения рядом Фурье при числе гармоник N=10.

Рис. 6. График сигнала и его приближения рядом Фурье при числе гармоник N=20.

На рис. 4 – 6 видим, что частичные суммы ряда Фурье сходятся к сигналу при числе гармоник N=5, N=10, N=20. Аппроксимация сигнала рядом Фурье тем лучше, чем больше гармоник входит в сумму ряда.

6.  Вычисление преобразования Фурье сигнала и построение его спектров.

Дан сигнал

Для упрощения нахождения преобразования Фурье данного сигнала воспользуемся свойством частотного сдвига преобразования Фурье.

Заданный сигнал перепишем в виде (8).

                     (8)         

Найдём преобразование Фурье сигнала  по выражению (9).

                                                                                                                       (9)

Согласно свойству частотного сдвига, если , то .

Таким образом, преобразование Фурье для сигнала найдём, как

Итак, выражение спектральной плотности для сигнала  будет иметь вид (10).

                                                                      (10)

С помощью следующего script-файла построим графики сигнала , а также его амплитудного и фазового спектров.