1. Запись в показательной (полярной) форме комплексного выражения
.
2.
Построение по графику сигнала путем его
масштабирования и сдвига графика сигнала
.
Преобразование сигнала y=sin(t) в сигнал y=4cos2(t+1) осуществляется четырьмя операциями:
1) сдвиг по оси t на в любую сторону;
2) сдвиг влево на 1;
3) сжатие по времени в 2 раза;
4) растяжения вверх
в 4 раза.
Рис.1. Графики сигналов y1=sin(t) и y2=4cos2(t+1)
3. Определяем для периодического сигнала:
Рис.2. График сигнала из индивидуального задания
а) Максимальное (амплитудное) значение за период равно 4.
б)
Среднее за период значение определяется по формуле , где T период сигнала,
равный 6.
.
в)
Среднеквадратичное значение определяется по формуле
Предварительно можно посчитать интеграл, записанный под знаком корня
Подстановка получившегося значения в исходную формулу и окончательный расчет
г)
Средняя мощность за период рассчитывается по формуле: .
4. Для сигнала из предыдущего пункта (рис.2):
а) Разложение в ряд Фурье
Общий вид комплексного ряда Фурье: ,
где
-
это частота основной гармоники, равная
.
Определение коэффициентов ряда:
Подстановка получившейся формулы коэффициента ряда в исходную формулу
б) Амплитудный и фазовый спектры сигнала.
Рис.3. Амплитудный и фазовый спектры сигнала
в) Физический смысл спектров.
Амплитудный спектр выражает
плотность амплитудных гармоник, входящих в непрерывный сигнал. Значение
амплитуды пилообразного периодического сигнала стремится к нулю при
Фазовый спектр отражает зависимость от частоты начальных фаз гармоник сигнала.
г) Построение графика сигнала для конечного ряда Фурье с числом гармоник k = 5, 10, 20.
Рис.4. График сигнала и приближение его рядом Фурье при N=5
Рис.5. График сигнала и приближение его рядом Фурье при N=10
Рис.6. График сигнала и приближение его рядом Фурье при N=20
5. Для сигнала
а) найти преобразование Фурье,
б) определить амплитудный и фазовый спектры и постройте их графики,
в) объясните физический смысл спектров.
а) Преобразование Фурье.
б) Амплитудный и фазовый спектры.
=
=arctg
=arctg
![]() |
Частота, рад/сек
Фазовый спектр
![]() |
Рис.7. Амплитудный и фазовый спектры сигнала
в) Физический смысл спектров.
Обратимся к выражению обратного преобразования Фурье в виде
.
Амплитудный спектр представляет
собой модуль спектральной плотности сигнала .
X(f) имеет смысл плотности амплитуды гармоник, приходящихся на единичный интервал частот вблизи рассматриваемой частоты f. Этим и объясняется название X(f) или X(jω)– спектральная плотность сигнала
)
Фазовый спектр – аргумент спектральной плотности X(f).
Для действительных сигналов амплитудный спектр |X(f)| - четная функция,
фазовый спектр – нечетная функция f.
6.
Вычисление дискретной свертки сигнала
и
сигнала
![]() |
Рис.8. Графики сигналов
При n<0 сигналы не перекрываются и свертка равна нулю.
При перекрываются на промежутке
:
При n>6 перекрываются на
промежутке :
Таким образом
Но так как сигнал h[n] необходимо было реверсировать, этот ответ не совсем верен. При реверсировании сигнала мы получим иной ответ:
Для построения графика
предположим, что , тогда:
Рис.9. График свертки
сигналов и
7. Вычисление
дискретного преобразования Фурье (ДПФ) для сигнала .
=
=1+2
Дискретное преобразование Фурье:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.