Построение по графику сигнала путем его масштабирования и сдвига графика сигнала

1.  Запись в показательной (полярной) форме комплексного выражения

.

2.  Построение по графику сигнала  путем его масштабирования и сдвига графика сигнала .

Преобразование сигнала y=sin(t)  в сигнал y=4cos2(t+1) осуществляется четырьмя операциями:

1)  сдвиг по оси t  на    в любую сторону;

2)  сдвиг влево на 1;

3)  сжатие по времени в 2 раза;

4)  растяжения вверх в 4 раза.

Рис.1. Графики сигналов y1=sin(t) и y2=4cos2(t+1)

3. Определяем для периодического сигнала:

Рис.2. График сигнала из индивидуального задания

а) Максимальное (амплитудное) значение за период равно 4.

б) Среднее за период значение определяется по формуле  , где T период сигнала,

равный 6.

.

в) Среднеквадратичное значение определяется по формуле  

Предварительно можно посчитать  интеграл, записанный под знаком корня

Подстановка получившегося значения в исходную формулу и окончательный расчет

г) Средняя мощность за период рассчитывается по формуле:  .

4.  Для сигнала из предыдущего пункта (рис.2):  

а) Разложение в ряд Фурье

Общий вид комплексного ряда Фурье: , где - это частота основной гармоники, равная   .

Определение коэффициентов ряда:

           

           

Подстановка получившейся формулы  коэффициента ряда в исходную формулу

б) Амплитудный и фазовый спектры сигнала.

Рис.3. Амплитудный и фазовый спектры сигнала

в) Физический смысл спектров.

Амплитудный спектр выражает плотность амплитудных гармоник, входящих в непрерывный сигнал. Значение амплитуды  пилообразного периодического сигнала стремится к нулю при                  

Фазовый спектр отражает зависимость от частоты начальных фаз гармоник сигнала.

г) Построение графика сигнала для конечного ряда  Фурье с числом гармоник  k = 5, 10, 20.

Рис.4. График сигнала и приближение его рядом Фурье при N=5

Рис.5. График сигнала и приближение его рядом Фурье при N=10

Рис.6. График сигнала и приближение его рядом Фурье при N=20

5.  Для сигнала   

а)  найти преобразование Фурье,

б)  определить амплитудный и фазовый спектры и постройте их графики,

в)  объясните физический смысл  спектров.

а) Преобразование Фурье.

б) Амплитудный и фазовый спектры.

=

=arctg=arctg

Амплитудный спектр

Частота, рад/сек

Фазовый спектр

Частота, рад/сек

Рис.7. Амплитудный и фазовый спектры сигнала

в) Физический смысл спектров.

Обратимся к выражению обратного преобразования Фурье в виде

.

Амплитудный спектр представляет собой модуль спектральной плотности сигнала .

X(f) имеет смысл плотности амплитуды гармоник, приходящихся на единичный интервал частот вблизи рассматриваемой частоты f. Этим и объясняется название  X(f) или  X(jω)– спектральная плотность сигнала

)

Фазовый спектр – аргумент спектральной плотности X(f).

Для действительных сигналов амплитудный спектр |X(f)| - четная функция,  фазовый спектр – нечетная функция  f.

6. Вычисление дискретной свертки сигнала    

и сигнала

 

Рис.8. Графики сигналов

При n<0 сигналы не перекрываются и свертка равна нулю.

При перекрываются на промежутке :

               

При n>6 перекрываются на промежутке :

           

Таким образом

Но так как сигнал h[n] необходимо было реверсировать, этот ответ не совсем верен. При реверсировании сигнала мы получим иной ответ:

Для построения графика предположим, что , тогда:

Рис.9. График свертки сигналов  и 

            7.  Вычисление  дискретного преобразования Фурье (ДПФ) для сигнала .

 =

=1+2

Дискретное преобразование Фурье: