Поиск частоты среза фильтра по уровню 3 дБ. Определение типа фильтра, построение графика АЧХ

ЗАДАЧИ  11

  Учеб.  пособие  Г&Щ,   ч.2,  стр. 70 – 110.

Примеры  решения  задач.

1.  Передаточная функция фильтра имеет вид  . Найдите частоту среза фильтра по уровню 3 дБ.
Решение.
Частотная характеристика фильтра .     АЧХ  фильтра .  При этом   и   - монотонно убывающая функция   ω.   Для частоты среза .  Отсюда  .

2.  Задана передаточная функция фильтра . Определите тип фильтра, постройте график АЧХ.
Решение. 

Частотная характеристика фильтра  .  Следовательно,  квадрат АЧХ фильтра . Значения АЧХ для характерных частот  .  Поэтому фильтр – полосовой.  График АЧХ фильтра для 

Рис.11.1.

3.  Используя частотное преобразование, определите передаточную функцию ФВЧ Баттерворта  2 –го порядка с частотой среза 2 Гц.
Решение. 

Запишем передаточную функцию нормированного ФНЧ Баттерворта 2 – го порядка  .   График АЧХ  такого фильтра

                                Рис. 11.2

Угловая частота среза целевого  ФВЧ  . Выполняя подстановку   и  последующие преобразования,  получим передаточную функцию ФВЧ в виде
.

График АЧХ целевого фильтра

                                Рис. 11.3

4.  Определите импульсную характеристику (ИХ) и тип цифрового фильтра с уравнением . 
Решение.  Для получения ИХ фильтра подадим на его вход единичный импульс . Тогда значения импульсной характеристики

            Для α < 1 значения импульсной характеристики убывают в геометрической прогрессии.

Передаточная функция фильтра   . 

Частотная характеристика
.         АЧХ фильтра  .

При возрастании ω знаменатель  АЧХ увеличивается, а сами значения уменьшаются.   График АЧХ для значения α = 0,8. Тип фильтра -  ФНЧ.

Рис. 11.4

5.  Определите тип фильтра с уравнением   . Найдите амплитуду выходного сигнала фильтра для входного сигнала  .

Решение.
 Частотная характеристика фильтра  .     График АЧХ фильтра  для

Рис. 115

Тип фильтра – режекторный. Амплитуда выходного сигнала  при    
Если ,  то выход  системы .  Поэтому в данном случае .

6.  Определите тип фильтра и найдите его частоту среза на уровне 3 дБ.

Передаточная функция фильтра

 .

Решение.

ЧХ  фильтра   .   Его  АЧХ  .

Для ,   для , поэтому тип фильтра –ФВЧ.

 Вид АЧХ     для     ,  

     Рис. 11.6

Частоту среза определим из условия  .

Отсюда после преобразований получаем  .    Или  .

7.  Определите  импульсную характеристику, передаточную функцию и частотные характеристики фильтра Хеннинга с уравнением
   .
   Решение.

Для определения импульсной характеристики (ИХ) достаточно подать на вход фильтра единичны импульс, следовательно, импульсная характеристика

. 

Передаточная функция фильтра – это Z – преобразование ИХ, поэтому

. Такая передаточная функция имеет двойной нуль при z = -1.  Частотная характеристика фильтра .  На рис.  11.7  показаны АЧХ  и ФЧХ фильтра

для  частоты дискретизации F_S = 500 Гц.

Рис. 11.7

Следовательно, данный простой КИХ - фильтр может использоваться как ФНЧ для фильтрации высокочастотных помех и шумов.

8.   Рассчитайте цифровой режекторный фильтр, используя метод размещения нулей и полюсов фильтра на комплексной плоскости. Спецификация фильтра:
- частота режекции  50 Гц,
- ширина полосы режекции  на уровне  3 дБ    Гц
- частота дискретизации 500 Гц.
Решение.
Для обеспечения режекции на  частоте 50 Гц при частоте дискретизации 500 Гц поместим пару комплексных нулей в точках единичной окружности с угловыми координатами    (рис. 11.8)

 

                   Рис.  11.8.    

Для получения узкополосного режекторного фильтра поместим на тех же лучах углов пару дополнительных комплексно-сопряженных полюсов с модулем (радиусом)  . От этого параметра зависит ширина полосы режекции фильтра.

После определения положения нулей и полюсов фильтра находим его передаточную функцию

По передаточной функции записываем уравнение фильтра

.

На рис.  11.9  показана АЧХ спроектированного фильтра

Рис. 11.9

9.   Используя метод инвариантного преобразования импульсной характеристики, рассчитайте цифровой фильтр Баттерворта второго порядка с частотой среза 200 Гц и частотой дискретизации 1 кГц.
       Решение.

Синтез целевого фильтра выполним на основе расчета аналогового прототипа и его дискретизации, т.е. перехода к цифровому фильтру с помощью метод инвариантного преобразования импульсной характеристики.

Передаточная функция фильтра Баттерворта N – го порядка, выраженная через полюса, имеет вид

Полюса фильтра с частотой среза ω_С определяются  по выражению

,   ω_С – угловая частота среза в рад/с.

Для фильтра второго порядка имеем четыре полюса, из них два полюса в левой полуплоскости, которые и используем для получения передаточной функции  фильтра

.

Отсюда передаточная функция аналогового прототипа

.

На рис.  11.10  приведена  АЧХ аналогового прототипа фильтра

Рис. 11.10.

Для  перехода к цифровому фильтру по условию задачи  используем метод инвариантного преобразования импульсной характеристики, при котором в качестве его импульсной характеристики берутся отсчеты импульсной характеристики аналогового прототипа.

При этом методе передаточная функция аналогового фильтра записывается в виде суммы простых дробей       . 

Для данного случая

.   Находим константы разложения на простые дроби

,

.

Таким образом,

.

Передаточная функция цифрового фильтра  при данном методе дискретизации аналогового  фильтра представляется

как  ,   где  T_S  - интервал дискретизации (отсчетов).

В данном примере T_S = 0.001 с и передаточная функция ЦФ

После преобразования

.

Передаточная функция цифрового фильтра получена, из нее подстановкой  может быть найдена частотная характеристика фильтра. На рис.  1111  показана  нормированная  АЧХ получившегося фильтра

Фильтр имеет низкий порядок, второй,  поэтому его АЧХ спадает достаточно медленно, дискретизация таких медленно убывающих функций  сопровождается элайсингом (наложением спектров при дискретизации).  Для уменьшения наложения следует  увеличивать частоту дискретизации и/или уменьшать ширину переходной  полосы аналогового фильтра перед его преобразованием в цифровой.