Задачи 9
Примеры решения задач
1. Определите
Z – преобразование и его
область сходимости для сигнала
Решение.
По выражению Z – преобразования
.
Полученное выражение представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии, поэтому
Область сходимости (ОС): , т.е.
.
2. Определите
Z – преобразование и его
область сходимости для сигнала
Решение.
Найдем Z – преобразование x1[n] по выражению двустороннего Z – преобразования
Теперь определим Z
– преобразование x2[n] .
Для этого сигнала
Пояснение: пусть
Если ,
то
и
.
Поскольку последовательность x2[n]
левосторонняя, т.е. определена для отрицательных значений n, то для нахождения
его Z – преобразование
используем формулу двустороннего Z –
преобразования
Z – преобразование всего сигнала
.
Область сходимости - это пересечение областей
сходимости преобразований
и
, т.е. кольцо
.
3. Определите Z – преобразование сигнала
Решение.
Область сходимости или
.
4. Определите Z – преобразование и его область
сходимости для
.
Решение.
С помощью формулы Эйлера представим
x[n] в виде . Основываясь на известном Z-
преобразовании
и используя свойство
линейности Z – преобразования, получаем
Полюса этого выражения . Поэтому область сходимости
.
Решение.
Z- преобразование единичной
импульсной последовательности
Полюс
X(z) – точка z=1.
В соответствии со свойством дифференцирования Z- преобразования:
если ,
то
.
Поэтому .
Таким образом, .
Запишем сигнал в виде
Z-изображение второго слагаемого .
На основе теоремы (свойства) умножения на n
.
По свойству линейности .
Для этого вначале вычислим преобразование для конечной последовательности
Это выражение представляет собой
сумму конечной геометрической прогрессии со знаменателем z-1. Согласно
формуле суммы конечной геометрической прогрессии выражение
для Y(z) можно записать в виде
.
y[n] и x1[n]
связаны выражением . В соответствии со
свойством дифференцирования (умножения на n) Z
- преобразования
. Применим это свойство к x1[n].
Теперь
запишем Z- преобразование для x2[n].
Эта последовательность представляет собой единичную последовательность,
умноженную на константу N и сдвинутую вправо на N отсчетов. Z- преобразование единичной последовательности равно
. Поэтому
.
В результате Z- преобразование исходной последовательности
В соответствии с выражение Z - преобразования
последовательность x[n] должна иметь вид
Решение.
Будем определять обратное Z- преобразование методом разложения на простейшие дроби и нахождения оригинала для каждой составляющей разложения.
Y(z) - неправильная рациональная дробь.
Возьмем -
правильная дробь.
Разложим Y1(z) на простейшие дроби
Определим константы разложения
,
.
Переходя от Y1(z)
к Y(z), получим .
Используя соответствие между показательной функцией и её Z – изображением, получаем
.
Решение.
Запишем X(z) в
виде
Найдем полюса X(z)
. Перейдем от X(z) к
/Выразим в виде суммы простых
дробей
. Определим константы A, B, C.
.
Аналогичными приемами найдем
.
Следовательно, .
Отсюда
- представление в виде суммы
простейших дробей.
Вычисляя обратное Z – преобразование от каждой из дробей X(z), получаем
.
Решение.
В данном случае Z – преобразование не является рациональным, поэтому для инверсии нельзя применить методику разложения на простые дроби. Используем другой прием.
Найдем производную X(z)
.
Согласно свойству дифференцирования Z – преобразования
.
Обратное Z
– преобразование .
Выражение отличается
от
лишь множителем
. Согласно свойству запаздывания
(смещения) Z – преобразования
.
Следовательно,
И окончательный результат решения
.
12.
Найдите сигнал по его Z – преобразованию
.
Решение.
Данное выражение X(z)
имеет 3 полюса: p1 = -1, p2
= 2 и p3 =2. Полюс p
= 2 – кратный с кратностью 2. Поэтому разложение X(z) на
простейшие дроби имеет вид
/
Найдем значения вычетов – коэффициентов разложения X(z):
Таким образом, разложение на простейшие дроби для X(z) есть
Этому выражению во временной области соответствует сигнал
.
Пояснение:
По свойству умножения на
при и
с начальными условиями
.
Решение. Запишем Z – преобразование от левой и правой части уравнения, используя свойство линейности и временного сдвига.
При этом
Z – преобразование
входного сигнала .
После подстановки X(z) и начальных
условий получим .
Следовательно, решение уравнения в Z – плоскости
Полюса Y(z)
Разложение Y(z) на простые дроби
Найдем коэффициенты числителей дробей
.
Следовательно,
,
или
.
Обратное Z- преобразование от правой части
.
Связь между Y1(z)
и Y(z):
С учетом свойства временного сдвига Z – преобразования,
получаем решение уравнения во временной области в виде
Решение.
Найдем Z – преобразование для x[k]:
ДВПФ – это Z
– преобразование на единичной окружности, т.е. при .
Поэтому
,
.
Графики сигнала, его амплитудного
и фазового спектров, т.е. модуля и аргумента
,
Решение.
По формуле суммы конечной геометрической прогрессии
.
Поэтому
В последнем преобразовании
используется выделение множителя и формула Эйлера.
16. Определите ДВПФ для
сигнала .
Решение.
Запишем x[n] в виде .
ДВПФ сигнала есть
,
т.к.
.
По свойству (теореме) сдвига ДВПФ
.
17. Найдите сигнал, ДВПФ которого имеет вид
.
Решение.
Обратные ДВПФ для членов X1(ejω) и X2(ejω)
,
. Отсюда
.
18. Пусть сигнал x[n] имеет ДВПФ в виде
![]() |
Определите: а), б)
,
в)
без явного вычисления
.
Решение.
а) Из выражения обратного
ДВПВ для n
= 0 получаем
.
Интеграл
равен сумме площадей двух соответствующих
треугольников, т.е.
. Поэтому
.
б) Выражение прямого ДВПФ . Подставляя
, получаем
.
Поэтому из графического изображения
имеем
.
в) По теореме (равенству) Парсеваля для дискретных сигналов
.
Из графического изображения , принимая во внимание геометрический
смысл определенного интеграла, получаем
Следовательно,
.
Задачи для самостоятельного решения
1. Найдите обратное (инверсное) Z – преобразование:
а)
Ответ:
б)
Ответ: x2[n]=2, n≥0.
в)
,
Ответ: .
г) ,
Ответ: .
д)
Ответ: .
1. Определите
Z- преобразования для следующих сигналов:
а) - единичная ступенчатая функция.
Ответ:
.
б)
.
Ответ: .
в)
Ответ:
г)
.
Ответ: .
д)
.
Ответ:
.
2. Определите
Z – преобразование и его
область сходимости для сигнала
.
Ответ.
3. Определите
ДВПФ сигнала .
Ответ. .
4.
Найдите ДВПФ, амплитудный и фазовый спектры сигнала
Ответ.
5. Определите ДВПФ сигналов и изобразите их амплитудные спектры
а)
Ответ: .
б ) ,
в) .
7. Докажите, что для действительной последовательности x[n] амплитудный спектр является четной функцией от ω,
а фазовый спектр
- нечетной функцией от ω.
8. Найдите вид сигнала x[n], ДВПФ которого
.
Ответ. X[-4]=4, x[-1]=-1, x[0]=6, x[3]=8.
9. Решите разностное уравнение
,
здесь
Начальные условия – нулевые.
Ответ. .
10. Решите
разностное уравнение
с начальными условиями .
Ответ.
11. Изобразите графики нулей и полюсов для каждого из
следующих Z – преобразований
а) ,
б) .
Составил: доц. Щетинин Ю.И.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.