Определение Z-преобразования и его области сходимости

Задачи  9

Примеры  решения  задач

1.  Определите  Z – преобразование и его область сходимости для сигнала
 

Решение.

По выражению Z – преобразования  

.

Полученное выражение представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии, поэтому 

Область сходимости  (ОС):  ,   т.е.  .

2.   Определите   Z – преобразование и его область сходимости для сигнала
 
Решение.
Найдем  Z – преобразование  x₁[n]  по выражению двустороннего Z – преобразования
Теперь определим  Z – преобразование  x₂[n] .

Для этого сигнала  

 Пояснение: пусть 

Если , то  и .

Поскольку последовательность  x₂[n] левосторонняя, т.е. определена для отрицательных значений n, то для  нахождения его Z – преобразование используем формулу двустороннего Z – преобразования

Z – преобразование  всего сигнала

.

Область сходимости   - это пересечение областей сходимости преобразований     и  ,   т.е.  кольцо  .

3.  Определите  Z – преобразование сигнала

Решение.

Область сходимости  или .

4.  Определите  Z – преобразование и его область сходимости для
.
Решение.

 С помощью формулы Эйлера представим  x[n]  в виде  .  Основываясь на известном Z- преобразовании  и используя свойство линейности Z – преобразования, получаем

Полюса этого выражения  . Поэтому область сходимости  .

5. Определите Z- преобразование сигнала 

Решение.

Z- преобразование   единичной импульсной последовательности 

 Полюс X(z) – точка  z=1.

В соответствии со свойством дифференцирования  Z- преобразования:

если  ,  то  .

Поэтому  .

Таким образом,  .

6. Найдите Z – преобразование для сигнала
   .
   Решение.

Запишем сигнал в виде  
Z-изображение  второго слагаемого  .
На основе теоремы (свойства)  умножения на n 
.                      

По свойству линейности     .

7. Вычислите Z- преобразование последовательности
   
   Решение.
   Представим последовательность  x[n]  в виде суммы 
   
   Определим  Z- преобразование x₁[n].

Для этого вначале  вычислим преобразование  для конечной  последовательности

 

Это выражение  представляет собой сумму конечной геометрической прогрессии со знаменателем  z^-1.  Согласно формуле суммы конечной геометрической прогрессии   выражение для Y(z)  можно записать в виде      .

y[n] и x₁[n] связаны выражением  .    В соответствии со свойством  дифференцирования (умножения на n)  Z -  преобразования  . Применим это свойство к x₁[n].

Теперь запишем  Z- преобразование для x₂[n]. Эта последовательность представляет собой единичную последовательность, умноженную на константу N  и сдвинутую вправо на  N отсчетов.  Z- преобразование единичной последовательности равно .  Поэтому  .

В результате Z- преобразование исходной последовательности 

8. Найдите оригинал, соответствующий  изображению
   
   Решение.
   Путем перемножения выражение можно записать в виде
   .

В соответствии с выражение Z - преобразования  

последовательность x[n]   должна иметь вид

9. Определите  обратное Z- преобразование  y[n]  для
   .  

Решение.

Будем определять обратное Z- преобразование методом разложения на простейшие дроби и нахождения оригинала для каждой составляющей  разложения.

Y(z)    - неправильная рациональная дробь.

Возьмем     - правильная дробь.

Разложим  Y₁(z)   на простейшие дроби  
 Определим  константы разложения

,      

  .

Переходя  от  Y₁(z)  к Y(z), получим      .

Используя соответствие между показательной функцией и её Z – изображением, получаем

.

10.    Определите  обратное Z- преобразование  для  .

Решение.
Запишем X(z)  в виде 
 Найдем полюса  X(z)    .    Перейдем от  X(z)  к  /Выразим в виде суммы простых дробей  .  Определим константы A, B, C.
.

  Аналогичными  приемами    найдем  .
Следовательно,   . 

Отсюда
 - представление в виде суммы простейших дробей.

Вычисляя обратное  Z – преобразование  от каждой из дробей  X(z), получаем
.

11.   Найдите временную последовательность (оригинал), соответствующую                   Z – преобразованию
    .

Решение.

В данном случае Z – преобразование не является рациональным, поэтому для инверсии нельзя применить методику разложения на простые дроби. Используем другой прием.

Найдем производную X(z)

.

Согласно свойству дифференцирования Z – преобразования

.

Обратное Z – преобразование .

Выражение  отличается от  лишь множителем  . Согласно свойству запаздывания (смещения) Z – преобразования

.

Следовательно,

И  окончательный результат решения

 .

12.   Найдите сигнал  по его Z – преобразованию   .
Решение.
Данное выражение X(z) имеет 3 полюса: p₁ = -1,   p₂ = 2  и  p₃ =2. Полюс  p = 2  – кратный с кратностью 2.  Поэтому  разложение   X(z) на простейшие дроби имеет вид
/

Найдем значения вычетов – коэффициентов разложения  X(z):

Таким образом, разложение на простейшие дроби  для X(z)  есть

Этому выражению во временной области соответствует сигнал

.

Пояснение:

По свойству умножения на

13.  Решите линейное разностное уравнение

при   и с начальными условиями  .

Решение. Запишем  Z – преобразование от левой и правой части уравнения, используя свойство линейности и временного сдвига.    

При этом

Z – преобразование входного сигнала  .

 После подстановки X(z) и  начальных условий получим   .

Следовательно, решение уравнения   в  Z – плоскости 

Полюса Y(z)

Разложение  Y(z) на простые дроби 

Найдем коэффициенты числителей дробей

.

Следовательно,    ,  или  .

Обратное Z- преобразование от правой   части

.

Связь  между Y₁(z)  и Y(z):   

С  учетом  свойства  временного сдвига Z – преобразования,

 получаем решение уравнения во временной области в виде

14.  Определите ДВПФ, амплитудный и фазовый  спектры  для сигнала .

Решение.

Найдем Z – преобразование   для x[k]:

ДВПФ – это Z – преобразование на единичной окружности, т.е.  при  . 

Поэтому

,

.

Графики сигнала, его амплитудного и фазового спектров, т.е. модуля и аргумента

15.   Найдите ДВПФ для симметричного дискретного прямоугольного импульса

  ,  

Решение.

По формуле суммы конечной геометрической прогрессии  

      .

Поэтому 

В последнем преобразовании используется выделение множителя   и формула Эйлера.

16.   Определите ДВПФ для сигнала      .

Решение.

Запишем  x[n]  в виде    .

ДВПФ  сигнала   есть    , т.к. .

По свойству (теореме) сдвига  ДВПФ

.

17.   Найдите  сигнал,  ДВПФ которого имеет вид

                              .

Решение.

     

Обратные  ДВПФ  для членов  X₁(e^jω)   и   X₂(e^jω)

,        .                   Отсюда .

18.  Пусть  сигнал  x[n] имеет  ДВПФ   в виде

 

Определите:  а),   б)  ,       в) без явного вычисления  .

Решение.

а)  Из выражения обратного ДВПВ      для  n = 0  получаем

. Интеграл   равен сумме площадей двух соответствующих треугольников, т.е.  .  Поэтому .

б)  Выражение  прямого ДВПФ   .  Подставляя  ,  получаем  .  Поэтому из графического изображения имеем  .

в) По теореме (равенству)  Парсеваля для дискретных сигналов 

. 

Из графического изображения , принимая во внимание геометрический смысл определенного интеграла,  получаем

Следовательно,   .

Задачи  для самостоятельного решения

1.  Найдите обратное (инверсное)  Z – преобразование:

         а)     

Ответ:    

         б)   

Ответ:   x₂[n]=2,   n≥0.

           в)    ,          

Ответ:  .

             г)     , 

Ответ:  .

  д)         

Ответ:   .

1. Определите  Z- преобразования для следующих сигналов:
а)    - единичная ступенчатая функция.

Ответ:   .

         б)   .

Ответ:   .

         в)   

Ответ: 

         г)   .

Ответ:   .

         д)    .

Ответ:   .

2.  Определите  Z – преобразование и его область сходимости для сигнала
  .

Ответ.   

3.  Определите ДВПФ сигнала  .

Ответ.   .

4.  Найдите ДВПФ,  амплитудный и фазовый спектры сигнала 
Ответ.   

5.  Определите  ДВПФ сигналов  и изобразите их амплитудные спектры

а) 

Ответ:    .

б )  ,

в)   .

7.    Докажите, что для действительной последовательности x[n]  амплитудный спектр   является  четной функцией  от ω, а фазовый спектр

       - нечетной функцией  от  ω.

   8.    Найдите вид сигнала x[n],  ДВПФ которого 

.

Ответ.    X[-4]=4,    x[-1]=-1,        x[0]=6,           x[3]=8.

9.   Решите разностное уравнение

, здесь

Начальные условия – нулевые.

Ответ.   .

10.  Решите разностное уравнение

с начальными условиями  .

Ответ. 

   11.  Изобразите графики нулей и полюсов для каждого из следующих Z – преобразований
      а)   ,

      б)    .

Составил:      доц.  Щетинин Ю.И.