Изучение сущности, моделей и методов дискретизации (квантования по времени) сигналов

Министерство образования и науки РФ

Новосибирский Государственный Технический Университет

Кафедра Систем Сбора и Обработки Данных

Дисциплина  «Теория  и  обработка  сигналов»,     5 - й семестр

Отчет

ПО ЛАБОРАТОРНОЙ  РАБОТЕ  № 7

«ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И ВОССТАНОВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ»

Факультет: АВТ

Группа: АО-21

Студент: Подолец А.М.                Преподаватель: Щетинин Ю.И.

Новосибирск, 2004

Цель работы:изучение сущности, моделей и методов дискретизации (квантования по времени) сигналов и восстановления непрерывных сигналов по отсчетам.

Задание №1:Генерирование  непрерывного и дискретного сигнала в среде  Matlab.

Файл-сценарий Matlab для генерирования  непрерывного и дискретного сигнала (Приложение 1 методического указания):

% Процедура формирования непрерывного и дискретного сигналов

t=0:0.1:10;

y=t.^3-18*t.^2+81*t;

t1=0:10;

y1=t1.^3-18*t1.^2+81*t1;

subplot(121),plot(t,y),grid on

title('Unceasing signal:'), xlabel('Time, sec')

subplot(122),stem(t1,y1, '-k'),grid on

title('Discrete signal:'), xlabel('Number of the counting out')

Рис. 1. График непрерывного и дискретного сигналов.

Из графиков (рис. 1.) видно: сигналы сгенерированы с помощью одной и той же функции, но их графические представления сильно различаются. Из-за конечного числа отсчетов

дискретный сигнал, получающийся как произведение δ-функции на значение непрерывного сигнала в этой точке, не может передать полную информацию об исходном непрерывном сигнале.

Задание №2:Моделирование формирования отсчетов синусоидального сигнала с частотой 0,5 Гц и частотами отсчетов 8,  4,  2,  1,  0,5 Гц. Определение частоты Найквиста для данного сигнала.

Matlab-функция для формирования отсчетов синусоидального сигнала(Приложение 2 методического указания):

function y=Sampling(f,Fd)

% Процедура демонстрации формирования отсчетов синусоидального  %сигнала

% Обращение Sampling(f,Fd)

t=0:0.02:4; % Временной интервал

A=5; % Амплитуда сигнала

fs=f; % Частота сигнала

Sig=A*sin(2*pi*fs*t);  % Непрерывный сигнал

Fs=Fd;  % Частота отсчетов

Sampler = square(2*pi*Fs*t);

for i = 1:length(Sampler) % Цикл для устранения отрицательных полуволн

Sampler(Sampler == -1) = 0;

end; % end for

Sampled_Sig = Sampler.* Sig; % Sample the Sine Wave (Signal)

% Графики

subplot(311), plot(t, Sig), title('Unceasing signal:'),grid on

subplot(312),plot(t,Sampler,'-r'),axis([0,4,-0.1,1.1]),grid on

freqsam = num2str(Fs); % Формирование заголовка графика

titlecat = ['Frequency counting out',freqsam,'Hz'];

title(titlecat);

subplot(313),plot(t,Sampled_Sig,'-k'),grid on

xlabel('Time, sec')

Sampling(0.5,8)

Рис. 2. График непрерывного и дискретного сигналов

с частотой сигналов 0.5 Гц, и частотой отсчётов 8 Гц.

Из теоремы отсчётов следует, что чем выше частота отсчётов, тем точнее мы можем восстановить исходный сигнал. Для нашего случая Fs = 8, 4, 2, 1, 0.5 Гц. Для нахождения частоты Найквиста воспользуемся формулой . Умножим Fs на 2*pi. Для однозначного представления дискретного сигнала необходимо выполнение условия . При частоте отсчётов 8 Гц, условие выполняется, так как  .

Уменьшаем частоту отсчётов в два раза:

Sampling(0.5,4)

Рис. 3. Графики непрерывного и дискретного сигнала

с частотой сигналов 0.5 Гц, и частотой отсчётов 4 Гц.

По графику видно, что с уменьшением частоты отсчётов качество восстановленного сигнала ухудшилось, но условие однозначного восстановления выполняется. 

, 

Уменьшим частоту отсчётов в два раза:

Sampling(0.5,2)

Рис. 4. Графики непрерывного  и дискретного сигнала

с частотой сигналов 0.5 Гц, и  частотой отсчётов 2 Гц.

Условие сохраняется: .  ,

Уменьшим частоту отсчётов в два раза:

Sampling(0.5,1)

Рис. 5. Графики непрерывного и дискретного сигнала.

с  частотой сигналов 0.5 Гц, и частотой отсчётов 1 Гц.

Условие сохраняется: .  ,(критическая частота ).

Уменьшим частоту отсчётов в два раза:

Sampling(0.5,0.5)

Рис. 6. Графики непрерывного и дискретного сигнала.

с частотой сигналов 0.5 Гц, и частотой отсчётов 0,5 Гц.

Из графика видно, что сигнал восстановлен неверно. Условие однозначности не выполняется: ,.

В результате построения графиков (рис.2., рис.3., рис.4., рис.5., рис.6) мы получили три случая зависимости соотношения частоты исходного сигнала и частоты Найквиста.

В первом случае, когда частота гармонического сигнала меньше частоты Найквиста, мы можем правильно восстановить аналоговый сигнал. Это подтверждается при частотах отсчетов 8 Гц (рис.2.), 4 Гц (рис.3.), 2 Гц (рис.4.).

Во втором случае, когда частота гармонического сигнала равна частоте Найквиста, мы можем восстановить аналоговый сигнал с той же частотой, но амплитуда и фаза восстановленного сигнала могут быть искажены. В данном случае эта ситуация возможна при частоте отсчетов 1 Гц (рис.5).

В третьем случае (рис.6., частота отсчетов 0.5 Гц) частота гармонического сигнала превышает частоту Найквиста в два раза. Восстановленный аналоговый сигнал будет также гармоническим, но с другой частотой, а это значит, что в результате мы получим искаженный сигнал.

Задание №3:Генерирование последовательности x[n]  при нескольких частотах отсчетов для непрерывного сигнала . Определение предельной частоты отчетов, достаточной для восстановления косинусоидального сигнала.

Файл-сценарий Matlab для генерирования последовательности x[n]  при нескольких частотах отсчетов (Приложение 3 методического указания):

Fn=2000Гц – частота Найквиста.

При частоте отсчётов 1500 Гц получим:

% Программа генерации дискретного косинусоидального сигнала

f=1000; % Частота

Fd=2*f; T=1/Fd; % Частота и период отсчетов

t=0:T:60*T; y=cos(2*pi*f*t);

T1=1/1.5/f; t1=0:T1:60*T; y1=cos(2*pi*f*t1); % Период дискретизированного сигнала для частоты 1500Гц

plot(t,y,'-ok',t1,y1,'-.dr'); grid on

title('Sampling cosinusoidal signal')

xlabel('Time (sec)')

axis([0,40*T,-2,2])

Рис. 7. График дискретного сигнала при частоте отсчётов 1500 Гц.

В случае, если частота отсчётов меньше частоты Найквиста мы получаем искажённый по форме импульсов и амплитуде восстановленный сигнал.

При частоте отсчётов 2000 Гц получим:

% Программа генерации дискретного косинусоидального сигнала

f=1000; % Частота

Fd=2*f; T=1/Fd; % Частота и период отсчетов

t=0:T:60*T; y=cos(2*pi*f*t);

T1=1/2/f; t1=0:T1:60*T; y1=cos(2*pi*f*t1); % Период дискретизированного сигнала для частоты 2000Гц

plot(t,y,'-ok',t1,y1,'-.dr'); grid on

title('Sampling cosinusoidal signal')

xlabel('Time (sec)')

axis([0,40*T,-2,2])

Рис. 8. График дискретного сигнала при частоте отсчётов 2000 Гц.