Министерство образования и науки РФ
Новосибирский Государственный Технический Университет
Кафедра Систем Сбора и Обработки Данных
Дисциплина «Теория и обработка сигналов», 5 - й семестр
Отчет
ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 6
«Линейные непрерывные стационарные системы»
Факультет: АВТ
Группа: АТ-33
Вариант: 2
Студент: Швецов А. В. Преподаватель: доц. Щетинин Ю.И.
Новосибирск, 2005
Цель работы:знакомство с динамическими характеристиками линейных непрерывных стационарных (инвариантных во времени) систем и их использованием для анализа систем в среде MATLAB.
Схема фильтра:
Рис. 1. Схема фильтра низких частот.
R1=10 кОм, R2=500 Ом, C=0,1 мкФ
Первый закон Кирхгофа для узла А:
,
, ,
Отношение выходного напряжения к входному:
Для рассматриваемого фильтра:
Передаточная функция данного фильтра, как отношение преобразований Лапласа выходного и входного сигнала, имеет вид:
Числитель передаточной функции: 20000 (num = [20000])
Знаменатель передаточной функции: s + 1000 (den = [1 1000])
Функция roots(C) вычисляет корни полинома с коэффициентами, указанными в векторе С. Общий вид полинома: C(1)*X^N + ... + C(N)*X + C(N+1).
По виду числителя передаточной функции видно, что нулей функции нет.
Определение полюсов передаточной функции:
>> y=roots(den)
y =
-1000
То есть полюсом данной
функции является s=-1000;
Функция [Z,P,K] = tf2zp(NUM,DEN) осуществляет поиск нулей (z) ,
полюсов (p) и коэффициента усиления (K) системы с
уравнением передаточной функции .
Определение нулей, полюсов и коэффициента усиления с помощью функции tf2zp():
[z p k]=tf2zp(num, den)
z =
Empty matrix: 0-by-1
p =
-1000
k =
20000
Функция zplane(z,p)строит диаграмму нулей (вектор значений z) и полюсов (вектор значений p) передаточной функции.
Рис. 2. Диаграмма нулей и полюсов передаточной функции.
Комментарии:
Функция zplane() наглядно отображает расположение корней на комплексной плоскости.
Функция [R,P,K] = residue(B,A) определяет постоянные составляющие (R), полюса (P) для простых дробей и прямое выражение (K) передаточной функции, определяемой полиномами В и А в соотношении:.
[z1 p1 k1] = residue (num, den)
z1 = 20000
p1 = -1000
k1 = []
Это подтверждает, что передаточная функция имеет вид простой дроби: .
Функция bode(NUM,DEN) предназначена для построения диаграммы Боде функции по полиномам числителя (NUM) и знаменателя (DEN).
Функция freqs(b,a,w) возвращает комплексный частотный вид функции, описанной полиномами b и a, и строит график от диапазона частот, указанного в векторе w.
bode([0 num], den)
Рис. 3. Диаграмма Боде
Построение АЧХ и ФЧХ:
w=0:10:1000;
freqs (num, den, w);
Рис. 4. АЧХ и ФЧХ системы.
Рис.5. Увеличенный масштаб, где амплитуда равна .
Частота при которой входной сигнал меняет фазу на 45 градусов или амплитуда уменьшается в раз равна 1000рад/сек (159Гц) (амплитуда равна приблизительно 101,15) – это частота среза, она задает полосу пропускания фильтра 0 до 159Гц. Из графика АЧХ получаем, что полоса пропускания – интервал частот, в пределах которого значение АЧХ уменьшается на 1,414,тоесть частоты от 0 до 1000 рад/с (0 Гц – 159 Гц), а частота среза соответственно равна 1000 рад/с (159 Гц).
Комментарии:
Часто, для удобства анализа используется построение логарифмических характеристик. При этом операции умножения и деления заменяются на операции сложения и вычитания. Из таких характеристик также можно определить устойчивость системы (логарифмический критерий Найквиста). Диаграмма Боде предназначена для построения ЛАЧХ (строится зависимость 20lg(A) от lg(w)), фазовая характеристика строится в градусах (зависимость от десятичного логарифма частоты).
Уменьшим R1 в два раза, R1=5кОм, остальные параметры оставим без изменений:
num=[10];
den=[5*10^(-4) 1];
w=0:10:10000;
freqs (num, den, w)
Рис.6. Изменение АЧХ и ФЧХ при уменьшении R1 в два раза.
Из графика видно, что изменилась максимальная амплитуда, которую может выдавать система, она уменьшилась в 2 раза. При этом полоса пропускания увеличилась до 2000 рад/с (318 Гц)
Уменьшим в два раза R2, R2=250 Ом, а остальные параметры без изменений:
num=[40000];
den=[1 1000];
bode(num, den)
Рис.7. Изменение АЧХ и ФЧХ при уменьшении R2 в два раза.
Из этого графика следует, что максимальная амплитуда увеличилась, а если рассмотреть полосу пропускания – 1000 рад/с.
Пусть C в два раза меньше первоначального, С=0,05 мкФ (остальные параметры без изменений):
num=[20];
den=[5*10^(-4) 1];
bode(num, den)
Рис.8. Изменение АЧХ и ФЧХ при уменьшении C в два раза.
Видно, что максимальная амплитуда практически не изменилась, а вот полоса пропускания изменилась – значительно стала больше (2000 рад/с).
num = [20000];
den = [1 1000];
subplot(211),step(num, den ),grid;
subplot(212),impulse(num, den),grid;
Рис.9. Графики переходной и импульсной характеристик фильтра.
Комментарии:
Импульсная характеристика – реакция на входной сигнал в виде δ-функции при нулевых начальных условиях. Переходная характеристика – реакция системы на входное воздействие в виде единичной ступенчатой функции при нулевых начальных условиях. Так как дельта-функция может рассматриваться как производная от единичной, то переходная и импульсная характеристики связаны соотношением . Из этого выражения следует, что время нарастания переходной характеристики определяется длительностью импульсной функции системы. Переходная функция чаще используется в экспериментальной практике, так как практически дельта-функцию можно сформировать только приближённо, а ступенчатую функцию – достаточно точно.
В полосу пропускания входит частота 100 Гц, поэтому зададим входной гармонический сигнал как cos(200*pi*t), тогда будет получен следующий результат:
num = 20000;
den = [1 1000];
t = linspace (0 , 0.05, 5001);
u = cos (200*pi*t);
lsim (num, den, u ,t)
Рис.10. Входной и выходной сигнал на фильтре.
Аналитически оценим выходной сигнал:
Рис. 11. АЧХ и ФЧХ при 100 Гц.
Из графика АЧХ определяем, что амплитуда порядка 17, а из ФЧХ видно, что фаза -32º (-0.18π). Получаем, что y(t)=17сos(200πt-0,18π).
Выводы:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.