Линейные непрерывные стационарные системы. Вариант 2

Министерство образования и науки РФ

Новосибирский Государственный Технический Университет

Кафедра Систем Сбора и Обработки Данных

Дисциплина  «Теория  и  обработка  сигналов»,     5 - й семестр

Отчет

ПО ЛАБОРАТОРНОЙ  РАБОТЕ  № 6

«Линейные непрерывные стационарные системы»

Факультет: АВТ

Группа: АТ-33

Вариант: 2

Студент: Швецов А. В.                          Преподаватель: доц. Щетинин Ю.И.

Новосибирск, 2005

Цель работы:знакомство с динамическими характеристиками  линейных непрерывных стационарных (инвариантных во времени) систем  и их использованием для анализа систем в среде MATLAB.

1. Определение передаточной функции активного фильтра. 

Схема фильтра:

Рис. 1. Схема фильтра низких частот.

R1=10 кОм, R2=500 Ом, C=0,1 мкФ

Первый закон Кирхгофа для узла  А:

, 

,                   ,                

Отношение выходного напряжения  к входному:

Для рассматриваемого фильтра:

                                                   

Передаточная функция  данного фильтра, как отношение преобразований Лапласа выходного и входного сигнала, имеет вид:

                      

2. Нахождение нулей и полюсов фильтра при помощи функции roots().Определение нулей, полюсов и коэффициента усиления системы  на основе функции tf2zp().  Построение диаграммы нулей и полюсов с помощью функции zplane(z,p).

Числитель передаточной функции: 20000  (num = [20000])

Знаменатель передаточной функции: s + 1000  (den = [1 1000])

Функция roots(C) вычисляет корни полинома с коэффициентами, указанными в векторе С. Общий вид полинома: C(1)*X^N + ... + C(N)*X + C(N+1).

По виду числителя передаточной функции видно, что нулей функции нет.

Определение полюсов передаточной функции:

>> y=roots(den)

y =

       -1000

То есть полюсом данной функции является s=-1000;
Функция [Z,P,K] = tf2zp(NUM,DEN) осуществляет поиск нулей (z) , полюсов (p) и коэффициента усиления (K) системы с уравнением передаточной функции .

Определение нулей, полюсов и коэффициента усиления с помощью функции  tf2zp():

[z p k]=tf2zp(num, den)

z =

   Empty matrix: 0-by-1

p =

       -1000

k =

       20000

Функция zplane(z,p)строит диаграмму нулей (вектор значений z) и полюсов (вектор значений p) передаточной функции.

Рис. 2. Диаграмма нулей и полюсов передаточной функции.

Комментарии:

Функция zplane() наглядно отображает расположение корней на комплексной плоскости.

3. Выполним разложение передаточной функции на простые (элементарные) дроби с использованием функции residue.

Функция [R,P,K] = residue(B,A) определяет постоянные составляющие (R), полюса (P) для простых дробей и прямое выражение (K) передаточной функции, определяемой полиномами В и А в соотношении:.

 [z1 p1 k1] = residue (num, den)

z1 =   20000

p1 =   -1000

k1 =   []

Это подтверждает, что передаточная функция имеет вид простой дроби: .

4. Построение диаграммы Боде (функция bode()) и графиков АЧХ  и ФЧХ фильтра (функция freqs()). Нахождение частоты среза по уровню 3дБ и полосы пропускания фильтра.

Функция bode(NUM,DEN) предназначена для построения диаграммы Боде функции по полиномам числителя (NUM) и знаменателя (DEN).

Функция freqs(b,a,w) возвращает комплексный частотный вид функции, описанной полиномами b и a, и строит график от диапазона частот, указанного в векторе w.

bode([0 num], den)

Рис. 3. Диаграмма Боде

Построение АЧХ и ФЧХ:

w=0:10:1000;

freqs (num, den, w);

Рис. 4. АЧХ и ФЧХ системы.

Рис.5. Увеличенный масштаб, где амплитуда равна .

Частота при которой входной сигнал меняет фазу на 45 градусов или амплитуда уменьшается в раз равна 1000рад/сек (159Гц) (амплитуда равна приблизительно 10^1,15) – это частота среза, она задает полосу пропускания фильтра 0 до 159Гц. Из графика АЧХ получаем, что полоса пропускания – интервал частот, в пределах которого значение АЧХ уменьшается на 1,414,тоесть частоты от 0 до 1000 рад/с (0 Гц – 159  Гц), а частота среза соответственно равна 1000 рад/с (159 Гц).

Комментарии:

Часто, для удобства анализа используется построение логарифмических характеристик. При этом операции умножения и деления заменяются на операции сложения и вычитания. Из таких характеристик также можно определить устойчивость системы (логарифмический критерий Найквиста). Диаграмма Боде предназначена для построения ЛАЧХ (строится зависимость 20lg(A) от lg(w)), фазовая характеристика строится в градусах (зависимость от десятичного логарифма частоты).

5. Изменение АЧХ, ФЧХ и полосы пропускания фильтра при изменении значения параметров схемы (резисторов и конденсаторов).

Уменьшим R1 в два раза, R1=5кОм, остальные параметры оставим без изменений:

num=[10];

den=[5*10^(-4) 1];

w=0:10:10000;

freqs (num, den, w)

Рис.6. Изменение АЧХ и ФЧХ при уменьшении R1 в два раза.

Из графика видно, что изменилась максимальная амплитуда, которую может выдавать система, она уменьшилась в 2 раза. При этом полоса пропускания увеличилась до 2000 рад/с (318 Гц)

Уменьшим в два раза R2, R2=250 Ом, а остальные параметры без изменений:

num=[40000];

den=[1 1000];

bode(num, den)

Рис.7. Изменение АЧХ и ФЧХ при уменьшении R2 в два раза.

Из этого графика следует, что максимальная амплитуда увеличилась, а если рассмотреть полосу пропускания – 1000 рад/с.

Пусть C в два раза меньше первоначального, С=0,05 мкФ (остальные параметры без изменений):

num=[20];

den=[5*10^(-4) 1];

bode(num, den)

Рис.8. Изменение АЧХ и ФЧХ при уменьшении C в два раза.

Видно, что максимальная амплитуда практически не изменилась, а вот полоса пропускания изменилась – значительно стала больше (2000 рад/с).

6. Построение графиков переходной и импульсной характеристик фильтра при помощи функций step() и impulse().

num = [20000];

den = [1 1000];

subplot(211),step(num, den ),grid;

subplot(212),impulse(num, den),grid;

Рис.9. Графики переходной и импульсной характеристик фильтра.

Комментарии:

Импульсная характеристика – реакция на входной сигнал в виде δ-функции при нулевых начальных условиях. Переходная характеристика – реакция системы на входное воздействие в виде единичной ступенчатой функции при нулевых начальных условиях. Так как дельта-функция может рассматриваться как производная от единичной, то переходная и импульсная характеристики связаны соотношением . Из этого выражения следует, что время нарастания переходной характеристики определяется длительностью импульсной функции системы. Переходная функция чаще используется в экспериментальной практике, так как практически дельта-функцию можно сформировать только приближённо, а ступенчатую функцию – достаточно точно.

7. Определение входного гармонического сигнала с частотой, входящей в полосу пропускания фильтра. Нахождение отклика системы на данный входной сигнал используя функцию lsim().Построение графиков входного и выходного сигналов.

В полосу пропускания входит частота 100 Гц, поэтому зададим входной гармонический сигнал как cos(200*pi*t), тогда будет получен следующий результат:

num = 20000;

den = [1  1000];

t = linspace (0 , 0.05, 5001);

u = cos (200*pi*t);

lsim (num, den, u ,t)

Рис.10. Входной и выходной сигнал на фильтре.

Аналитически оценим выходной сигнал:

Рис. 11. АЧХ и ФЧХ при 100 Гц.

Из графика АЧХ определяем, что амплитуда порядка 17, а из ФЧХ видно, что фаза -32º (-0.18π). Получаем, что y(t)=17сos(200πt-0,18π).

Выводы:

• Для передаточной функции любой ЛНСС, при помощи функций roots() или tf2zp() можно определить нули и полюса.

• Для иллюстрирования нахождения полюсов и корней на комплексной плоскости используется функция zplane(z,p).

• Часто для анализа ЛНСС используется их ЛАЧХ (логарифмический критерий Найквиста). В пакете MatLab для этого используется функция bode().

• Основными временными характеристиками являются – импульсная и переходная, отражающие  реакцию системы на типовые входные сигналы (дельта – функции и единичной  ступенчатой функции), которые используются для исследования поведения линейных систем во время переходного процесса.