Изучение понятия и свойств непрерывной и дискретной свертки. Вариант 9

            МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

НОВОСИБИРСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ 
УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ  АВТОМАТИКИ  И  ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ  ТЕХНИКИ

Кафедра  Систем Сбора и Обработки Данных

ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА  № 5

НЕПРЕРЫВНАЯ И ДИСКРЕТНАЯ СВЕРТКИ

Группа: АИ-72                                                               Преподаватель: доц. Щетинин Ю.И.

Выполнил: Пушкарева Ю.

Новосибирск

 2009

Цель работы:  изучение понятия и свойств непрерывной и дискретной свертки, приобретение практических навыков вычисления свертки  в среде Matlab.

1.  Вычисление непрерывной свертки сигнала прямоугольной формы и экспоненциального сигнала.

Свертка двух непрерывных по времени сигналов определяется выражением
                                                               (1)

Численное вычисление непрерывной свертки может быть аппроксимировано конечной суммой вида
                   ,                                                        (2)

где   - интервал дискретизации.

С помощью следующего script-файла вычислим непрерывную свёртку сигнала прямоугольной формы и экспоненциального сигнала по выражению (2) и с помощью функции Matlab, а также построим графики сигналов и их свёртки.

T=0.0001;

t=0:0.0001:0.1;

x1=5*rectpuls(t-0.03,0.02); % сигнал x1

t1 = 0:0.0001:0.05;

x2 =[100*t1 zeros(1,length(t1)-1)]; % сигнал  x2

n1=length(x1);

n2=length(x2);

figure(2),subplot(411),  plot(t,x1), title('x1')

subplot(412),  plot(t,x2), title('x2')

k1=1:n1+n2-1;

% вычисление  свертки

for  n=1:n1+n2-1,

   y(n)=0;

   for k=max(1,n+1-n1):min(n,n2),

      y(n)=y(n)+sum(x1(n+1-k)*x2(k));

   end

y(n)=y(n)*T;  

end

% график свертки сигналов

subplot(413), plot(k1*T,y),title('Свертка x1  и  x2')

% вычисление свертки с помощью функции conv()

subplot(414), plot(k1*T,T*conv(x1,x2))

title('Вычисление с помощью conv')

Полученные результаты представлены на рис. 1.

Рис. 1. Графики сигналов и их свёртки (по выражению (2) и с помощью функции ).

На рис. 1 видим, что графики свёртки, построенные по выражению (2) и с помощью функции , совпадают.

Геометрический смысл операции непрерывной свертки заключается в зеркальном отражении одной из участвующих в операции функций, сдвиге её на значение t, перемножении, интегрировании результата по выражению (1) и повторении операций для другого значения t.

Выполним данные действия для проверки полученных выше результатов.

График зеркально отражённой функции  представлен на рис.2.

Рис. 2. График зеркально отражённой функции .

Далее сдвигаем функцию  на t вдоль оси , перемножаем её с функцией  и интегрируем результат на следующих промежутках:

1)  t<0,  x₁(τ) и x₂(t-τ) не перекрываются, значит y(t)=0

2)  ,     x₁(τ) и x₂(t-τ) перекрываются на промежутке   

3)   x₁(τ) и x₂(t-τ) перекрываются на промежутке   

4)    , x₁(τ) и x₂(t-τ) перекрываются на промежутке   

5)              ,  x₁(τ) и x₂(t-τ) не перекрываются, значит y(t)=0

Таким образом, свёртка сигналов  и  имеет вид (3).

                                                                                                (3)

График свёртки y(t) представлен на рис. 3.

Рис. 3. График свёртки сигналов  и  по выражению (3).

Видим, что графики свёртки, представленные на рис.1 и рис.3 совпадают.

2.  Вычисление непрерывной свертки по индивидуальному заданию.

Даны сигналы:

Рис. 4. Сигналы по индивидуальному заданию.

С помощью следующего script-файла вычислим непрерывную свёртку сигналов индивидуального задания по выражению (2) и с помощью функции Matlab, а также построим графики сигналов и их свёртки.

T=0.00001;

t=0:0.0001:0.1;

x1=rectpuls(t-0.01,0.025); % сигнал x1

t1=0:0.0001:0.1;

x2=sinc(200*(t1-0.05));% сигнал  x2

n1=length(x1);

n2=length(x2);

figure(2),subplot(411),  plot(t,x1), title('x1')

subplot(412),  plot(t,x2), title('x2')

k1=1:n1+n2-1;

% вычисление  свертки

for  n=1:n1+n2-1,

   y(n)=0;

   for k=max(1,n+1-n1):min(n,n2),

      y(n)=y(n)+sum(x1(n+1-k)*x2(k));

   end

y(n)=y(n)*T;  

end

% график свертки сигналов

subplot(413), plot(k1*T,y),title('Свертка x1  и  x2')

% вычисление свертки с помощью функции conv()

subplot(414), plot(k1*T,T*conv(x1,x2))

title('Вычисление с помощью conv')

Полученные результаты представлены на рис.5.

Рис.5. Графики сигналов и их свёртки (по выражению (1)

и с помощью функции ).

Вычислим свёртку на основе её геометрического смысла для проверки полученного результата.

Разобьём интервал интегрирования на следующие интервалы:

1)t<0,  x₁(τ) и x₂(t-τ) не перекрываются, значит y(t)=0

2)           ,     x₁(τ) и x₂(t-τ) перекрываются на промежутке   

????????????????????????????????

3)            x₁(τ) и x₂(t-τ) перекрываются на промежутке   

 4)          , x₁(τ) и x₂(t-τ) перекрываются на промежутке   

 5)            ,  x₁(τ) и x₂(t-τ) не перекрываются, значит y(t)=0                                                                                                               

Таким образом, свёртка сигналов  и  имеет вид (4).

                                                  (4)

График свёртки y(t) представлен на рис.6.

Рис. 6. График свёртки сигналов  и  по выражению (4).

Видим, что графики свёртки, представленные на рис.5 и рис.6 совпадают.

3.  Вычисление дискретной свёртки единичного импульса и последовательности прямоугольных импульсов.  +

Функция sqgen() генерирует прямоугольную последовательность импульсов длиной L отсчетов и периодом T отсчетов.

function G=sqgen(L,T)

n=0:1:L;

G = square(T*n/16);

stem(n,G)

C помощью следующего script-файла вычислим свертку единичного импульса delta1=[1]  и последовательности  sqgen(50, 10), сгенерированной с помощью функции sqgen().

delta1 = [1];

s = sqgen(50,10);

c = conv(delta1,s);

subplot(311), stem(delta1);

title ('delta1 = [1]')

subplot(312), stem(s);

title ('Прямоугольная волна')

subplot(313), stem(c);

title ('Свертка delta1 = [1] и прямоугольной волны')

Полученные результаты представлены на рис.7.

Рис. 7. Графики сигнала sqgen(50,10),  единичного

импульса delta1=[1] и их свёртки.

На рис. 7 видим, что график последовательности прямоугольных импульсов совпадает с графиком его свёртки с единичным импульсом.

Свёртка любого сигнала  с единичным импульсом даёт исходный сигнал, т.е. .

Это объясняется тем, что для любого n произведение  только при k=n и размер свёртки N = N1 + N2 – 1 = 50 + 1 – 1 = 50.

C помощью следующего script-файла вычислим свертку единичного импульса

delta2=[1 zeros(1,9)]  и последовательности  sqgen(50, 10), сгенерированной с помощью функции sqgen().

delta2=[1 zeros(1,9)]

[t,y]=sqgen(50,10);

c = conv(delta2, y);

subplot(3,1,1);

stem(t,y);

title('График последовательности импульсов sqgen(50,10)')

n = 0:9;

subplot(3,1,2);

stem(n,delta2);

set(gca,'FontName','Arial Cyr', 'FontSize',10)

title('График единичного импульса delta2=[1 zeros(1,9)]')

subplot(3,1,3);

t = 0: length(y)+length(delta2)-2;

stem(t,c);

set(gca,'FontName','Arial Cyr', 'FontSize',10)

title('График свёртки sqgen(50,10) и delta2=[1 zeros(1,9)]')

Полученные результаты представлены на рис.8.

Рис.8. Графики сигналов sqgen(50,10) и

delta2=[1 zeros(1,9)] и их свёртки.