Изучение понятия и свойств непрерывной и дискретной свертки. Вариант 4

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ  АВТОМАТИКИ  И  ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ   ТЕХНИКИ

КАФЕДРА СИСТЕМ СБОРА И ОБРАБОТКИ ДАННЫХ

Дисциплина  «Теория  и  обработка  сигналов»

ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА  № 5

НЕПРЕРЫВНАЯ И ДИСКРЕТНАЯ СВЕРТКИ

Вариант №4

Студент:                    Чуркаев А.А.

Группа:                     АО-61

Преподаватель:       доц. Щетинин Ю.И.

Новосибирск

2008

Цель работы:  Изучение понятия и свойств непрерывной и дискретной свертки, приобретение практических навыков вычисления свертки  в среде Matlab.

1.  Свертка двух непрерывных по времени сигналов (непрерывная свертка) определяется выражением
               
Численное вычисление непрерывной свертки может быть аппроксимировано конечной суммой вида
                   ,

где   - интервал (шаг) дискретизации.

Процедура (файл-сценарий Matlab) для приближенного вычисления непрерывной свертки сигнала прямоугольной формы и экспоненциального сигнала:

% Численное вычисление непрерывной свертки

T=0.1; % шаг дискретизации  

a=5;

i=0:50;

x1=exp(-a*i*T); % сигнал x1

x2=rectpuls(i-10,20); % сигнал  x2

n1=length(x1);

n2=length(x2);

figure(2),subplot(411),  plot(i*T,x1), title('x1')

subplot(412),  plot(i*T,x2), title('x2')

k1=1:n1+n2-1;

% вычисление  свертки

for  n=1:n1+n2-1,

   y(n)=0;

   for k=max(1,n+1-n1):min(n,n2),

      y(n)=y(n)+sum(x1(n+1-k)*x2(k));

   end

y(n)=y(n)*T;  

end

% график свертки сигналов

subplot(413), plot(k1*T,y),title('Свертка x1  и  x2')

% вычисление свертки с помощью функции conv()

subplot(414), plot(k1*T,T*conv(x1,x2))

title('Вычисление с помощью conv')

Рис. 1. Графики экспоненциального сигнала; прямоугольного сигнала; результата свертки,  вычисленного в циклах; результата свертки,  вычисленного функцией conv().

Комментарий:

Графики сверток, полученные с помощью конечных сумм и с помощью функции conv() совпадают. Функция conv() вычисляет  свертку перемножением преобразований Фурье заданных сигналов и находит обратное преобразование. Свертка сигналов  во временной области соответствует произведению преобразований Фурье этих сигналов в частотной области.

2. Вычисление непрерывной свертки прямоугольного сигнала и синусоиды.

% Численное вычисление непрерывной свертки

T=0.1; % шаг дискретизации  

a=5;

i=0:20;

x1=sin(pi*i/10); % сигнал x1

x2=rectpuls(i-5,10); % сигнал  x2

n1=length(x1);

n2=length(x2);

figure(2),subplot(411),  plot(i*T,x1), title('x1')

subplot(412),  plot(i*T,x2), title('x2')

k1=1:n1+n2-1;

% вычисление  свертки

for  n=1:n1+n2-1,

   y(n)=0;

   for k=max(1,n+1-n1):min(n,n2),

      y(n)=y(n)+sum(x1(n+1-k)*x2(k));

   end

y(n)=y(n)*T;  

end

% график свертки сигналов

subplot(413), plot(k1*T,y), set(gca, 'Fontname', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize',12)

title('Свертка x1  и  x2')

% вычисление свертки с помощью функции conv()

subplot(414), plot(k1*T,T*conv(x1,x2))

set(gca, 'Fontname', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize',12)

title('Вычисление с помощью conv')

xlabel('сек')

 

Рис. 2. Графики прямоугольного сигнала, синусоиды, результата свертки,  вычисленного в циклах и результата свертки,  вычисленного функцией conv().

3.  Функция sqgen(L,T), которая генерирует прямоугольную последовательность импульсов (прямоугольную волну) длиной L отсчетов и периодом T отсчетов.

Листинг функции sqgen(L,T)

% функция sqgen() предназначена для генерации прямоугольных

% последовательностей импульсов, длиной L отсчетов и периодом T отсчетов

function [x,t] =sqgen(L,T)

t=0:1:L;

x=square(2*pi*t/T);

stem(t,x);

4. Вычисление свертки единичного импульса и прямоугольной последовательности импульсов.

Ниже приведен код программы, с помощью которого была построена свертка прямоугольной волны и дельта–функции:

%вычисление свертки единичного импульса и прямоугольной

%последовательности импульсов.

[x t]=sqgen(50,10);

delta1=[1];

con=conv(x,delta1);

subplot(311), stem(t,x);

set(gca, 'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize' ,12);

title('Прямоугольная волна'); grid;

axis([0 max(t) 1.2*min(x) 1.2*max(x)]);

subplot(312), stem(0,delta1);

set(gca, 'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize' ,12);

title('Дельта - функция'); grid

subplot(313), stem((0:length(con)-1),con);

set(gca, 'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize' ,12);

title('Свертка прямоугольной волны и дельта - функции'); grid

axis([0 (length(con)-1) 1.2*min(con) 1.2*max(con)]);

Рис. 3. График прямоугольной волны, дельта-функции, свертка прямоугольной волны и дельта-функции.

Комментарий:

Видно, что, если  один из сигналов, участвующих в свертке, представляет собой дельта-функцию, то эта свертка в точности повторяет другой сигнал. В реальных системах сигнал не может представлять собой дельта-функцию, т.к. амплитудный спектр дельта-функции является прямой линией на любой частоте, а это не может быть достигнуто в реальной системе.

5. Вычисление свертки единичного импульса дополненного нулями справа и прямоугольной последовательности импульсов.

Ниже приведен код программы, с помощью которого была построена свертка прямоугольной волны и дельта – функции, дополненной нулями справа:

T=10;

[x t]=sqgen(50,T);

delta2=[1 zeros(1,9)];

con=conv(x,delta2);

subplot(311), stem(t,x);

set(gca, 'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize' ,12);

title('Прямоугольная волна');

axis([0 max(t) 1.2*min(x) 1.2*max(x)]); grid;

subplot(312), stem(0:9,delta2);