Z-преобразование и дискретно-временное преобразование Фурье

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ  И  НАУКИ  РФ

НОВОСИБИРСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ 
УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ  АВТОМАТИКИ  И  ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ  ТЕХНИКИ

Кафедра  Систем Сбора и Обработки Данных

ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА  № 8

по дисциплине

«Теория и обработка сигналов»

Выполнили:

Студентки

Факультета АВТ

Группы АО-21

Рогова Татьяна

Яшина Оксана

Преподаватель:

Доц.   Ю. И. Щетинин

Новосибирск

2005

Z - преобразование 

и  дискретно – временное  преобразование  Фурье

Цель работы:Изучение  Z – преобразования и дискретно – временного преобразования  Фурье (ДВПФ),  их вычисления  в среде Matlab.

1.  Прямое и обратное Z-преобразование:

     

Z-преобразование широко используется при анализе и проектировании дискретных систем. Для дискретных систем оно играет ту же роль, что и преобразование Лапласа для непрерывных систем. Прямое Z-преобразование:

                                                                

Последовательности x(n) с помощью Z-преобразования ставится в соответствие функция X(z) комплексной переменной z.

Возможность нахождения последовательности x(n) по её Z-преобразованию X(z) следует из теории функций комплексной переменной.

                                                           

Интегрирование производится в плоскости z по контуру , содержащему внутри себя все полюсы функции X(z).

Аналитическое вычисление Z – преобразования сигналов:

 а)

       

б)

        

в)

         

2.  Нахождение в замкнутой форме  Z – преобразования сигналов (последовательностей) с помощью функции   ztrans()  Matlab.

а)   x[n] = aⁿ cos ωn

syms X x a w n

 x=a^n*(cos(w*n));

 X=ztrans(x)

>> vi4islenie1

X =

(z/a-cos(w))*z/a/(z^2/a^2-2*z/a*cos(w)+1)

б)   x[n] = n²e²ⁿ

 

syms X x n

 x=n^2*(exp(2*n));

 X=ztrans(x)

>> vi4islenie2

X =

z*exp(2)*(z+exp(2))/(z-exp(2))^3

в)   x[n] = cos²n

syms X x n

x=cos(n)^2;

X=ztrans(x)

>>vi4islenie3

X =

(z^2+z-3*z*cos(1)^2+cos(1)^2)*z/(z^3+z^2-4*z^2*cos(1)^2-z+4*z*cos(1)^2-1)

3. Определение сигнала во временной области (оригинал) по его Z – преобразованию, используя функцию iztrans()  Matlab.

а)

syms z x X

X=z*(z+1)/(z-1)^3;

x=iztrans(X)

>>vi4islenie4

x =

n^2

Таким образом,

б) 

syms z x X

 X=(z^2-0.2*z-0.8)/(z^2-0.3*z-0.1);

 x=iztrans(X)

>>vi4islenie5

x =

8*charfcn[0](n)-36/7*(-1/5)^n-13/7*(1/2)^n

charfcn[0] – дельта-функция, где ненулевое значение только в точке равной нулю.

Таким образом,

4. Разложение функции рационального Z – преобразования на простые дроби. с помощью функции residuez(). Используя это разложение,  аналитическое вычисление обратного Z - преобразования.

Функция [r, p, k]=residuez(num,  den) выполняет разложение на простые дроби рациональной  Z- функции  с вектором коэффициентов полинома числителя num и вектора коэффициентов полинома знаменателя den. Результат функции: r – вектор вычетов, p – вектор полюсов, k – вектор коэффициентов целой части разложения.

         

Разложение на простые множители:

Num=[1 0.8];

Den=[1 -0.3 -0.1];

[R,P,K] = RESIDUEZ(Num,Den)

>>razlozhenie

R =

    3.7143

    4.2857

P =

    0.5000

   -0.2000

K =

    -8

Полученному результату отвечает разложение на простые дроби вида:

Обратное Z-преобразование:

Данный пример иллюстрирует возможность перехода от Z-преобразования X(z) к последовательности x[n] во временной области с применением разложения  X(z) на простые дроби. Заметим, что использование MatLab помогает значительно упростить процесс получения дробей, а, следовательно, снизить временные затраты. 

5. Решение с помощью Z– преобразования линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами.

Уравнение  .

Беря Z- преобразование от уравнения,  с учетом свойства временного сдвига получаем       .  

Z – преобразование  входного сигнала  .

Отсюда    .

Решение в Z – области

Обратное Z-преобразование от первого слагаемого правой части

.

Проверка:

Подставим теперь эти значения в выражение:

Проверка показала, что решение правильное.

6. Выражения прямого и обратного ДВПФ. Связь между ДВПФ и Z – преобразованием.

- выражение прямого ДВПФ

 - выражение обратного ДВПФ

Прямое дискретно-временное преобразование Фурье:

В данном выражение дискретному сигналу x[n] ставится в соответствие непрерывная функция , с переменной , представляющая собой ряд Фурье. Коэффициенты ряда можно найти воспользовавшись обратным ДВПФ:

Связь ДВПФ и Z-преобразования обусловлена тем, что z является комплексной переменной:

   

подставив её в выражение ДВПФ при условии, что  отличен от нуля только в положительной полуплоскости, то получим:

                         .

Очевидно, что ДВПФ – это частный случай Z-преобразования на единичной окружности комплексной z-плоскости.

     Аналитическое вычисление ДВПФ сигнала
                                 

7. Вычисление дискретно-временного преобразования Фурье сигналов

а)  x[n] = e ^-0,5n,
б)

для значения  M = 64.             

Файл функция:

function [X,w] = DTFT(x,M)

% Функция вычисляет значения DTFT от вектора x.

% Обращение

%             [X,w] = DTFT(x,0)

% здесь X - вектор значений DTFT,

% w - вектор угловых частот.

% Если желательно вычислить DTFT с M значениями частоты, используется обращение

%             [X,w] = DTFT(x,M)

% Этот вариант используется, когда размер вектора x меньше размера вектора частот w,

% при этом x дополняется нулевыми значениями

N = max(M,length(x));

% Приведение FFT к размеру 2^m

N = 2^(ceil(log(N)/log(2)))

% Вычисление  fft

X = fft(x,N);

% Вектор  частот

w = 2*pi*( (0:(N-1))/N );

w = w - 2*pi*(w>=pi)

% Сдвиг FFT к интервалу от -pi до +pi

X = fftshift(X);

w = fftshift(w);

Построим графики амплитудного и фазового спектров этих сигналов:

а)  x[n] = e ^-0,5n

>> n=0:1:5;

>> x=exp(-0.5*n);

>> [X,w]=DTFT(x,64)

>> t=-31:1:32;

>> stem(t,abs(X))

>> stem(t,angle(X))

рис. 1 Амплитудный спектр сигнала, заданного x[n] = e ^-0,5n

рис. 2 Фазовый спектр сигнала, заданного x[n] = e ^-0,5n

б) 

>> n=1:9;

>> x(n)=1;

>> [X,w]=DTFT(x,64);

>> t=-31:1:32;

>> stem(t,abs(X))

>> stem(t,angle(X))

рис. 3 Амплитудный спектр сигнала, заданного

рис. 4 Фазовый спектр сигнала, заданного

8. Получите частотную характеристику дискретной системы с уравнением        как отношение  .

Найдем ДВПФ уравнения, учитывая свойства линейности и временного сдвига:

Тогда:

Откуда:

Найдем частотную характеристику инверсной системы    такой, что последовательное  соединение этих систем имеет единичную частотную характеристику, т.е. :

Построим АЧХ обеих систем с помощью функции freqz():

>> num=[1 -0.5];

>> den=[1];

>> freqz(den, num)

>> freqz(num, den)

рис. 5 Амплитудный и фазовый спектры системы с частотной

характеристикой

рис. 6 Амплитудный и фазовый спектры системы с частотной

характеристикой

Пронаблюдаем  особенности работы системы. Для этого сгенерируем прямоугольный импульс на интервале  с помощью функции  rectpuls(). Используя функцию filter() проведем фильтрацию прямоугольного импульса вначале системой (фильтром) , а затем ее  выход – системой .

num = [1 -0.5];

den = [1];

n = 0:20;

x = rectpuls(n, 20);

subplot(3,1,1)

stem(n, x)

title('Square-wave pulse')

x1=filter(den, num, x);

subplot(3,1,2)

stem(n, x1)

title('Output signal of the filter H1')

x2=filter(num, den, x1);

subplot(3,1,3)

stem(n, x2)

title('Output signal of the filter H2')

>> output_signal 

рис. 7  Прямоугольный импульс, выходной сигнал фильтра Н1 и выходной сигнал фильтра Н2.

Из графиков видно, что при фильтрации сигнала с выхода первого фильтра инверсной системой исходный прямоугольный сигнал полностью восстанавливается.

9. Факультативное задание

x1=auread('bird');

sound(x1)

y1=x1+randn(length(x1), 1)*0.1;

sound(3*y1)

y2=filter(1,[1 -0.5],y1);

sound(y2)

[X1,w]=DTFT(x1,64);

t=-8191:8192;

subplot(3,1,1)

plot(t,abs(X1))

title ('Amplitude spectrum signal x1')

[Y1,w]=DTFT(y1,64);

[Y2,w]=DTFT(y2,64);

subplot(3,1,2)

plot(t,abs(Y1))

title ('Amplitude spectrum signal y1')

subplot(3,1,3)

plot(t,abs(Y2))

title ('Amplitude spectrum signal y2')

рис. 8 Амплитудный спектр исходного сигнала, амплитудный спектр исходного сигнала с наложением на него шумов, амплитудный спектр сигнала у1 после пропускания его через фильтр с переходной характеристикой  .

При прослушивании сигнала х1 и у1 очень сильно заметны различия в звучании. Все объясняется тем, что на сигнал х1 накладываются посторонние шумы, и это видно из графика амплитудных спектров сигналов х1 и у1. После пропускания сигнала у1 через фильтр с переходной функцией

 заметно понижается громкость сигнала в начале и в конце сигнала, но в середине звучания громкость сигнала усиливается, что подтверждается графиками амплитудных спектров сигналов у1 и у2.

При увеличении коэффициента фильтра при  y[n-1] в два раза, переходная характеристика фильтра будет иметь следующий вид: . Амплитудный спектр сигнала у2 изменился: на краях спектра амплитуда стремится к нулю, а в центральной точке сигнала наблюдается её резкое увеличение, о чем свидетельствует график, изображенный на рисунке 8а. 

рис. 8а Амплитудный спектр сигнала у1 после пропускания его через фильтр с переходной характеристикой  .

При дальнейшем увеличении коэффициента фильтра при  y[n-1] спектр сигнала исчезает.

При уменьшении коэффициента фильтра при  y[n-1] в два раза, переходная характеристика фильтра будет иметь следующий вид: . Амплитудный спектр сигнала у2 изменился незначительно: на краях спектра амплитуда не изменяется, а в центральной интервале сигнала наблюдается её увеличение, о чем свидетельствует график, изображенный на рисунке 8б. 

рис. 8б Амплитудный спектр сигнала у1 после пропускания его через фильтр с переходной характеристикой  .

При дальнейшем уменьшении коэффициента фильтра при  y[n-1] изменение спектра сигнала стремится к нулю.

Таким образом, можно сделать общий вывод: при изменении переходной характеристики, естественно, будет меняться и оклик системы (выходной сигнал) на входное воздействие.