Построение математической модели колебания струны на основе теории распределенных сигналов, страница 6

где u₀ и u_k – начальное и конечное значение функции воздействия u(t), причем u₀ и u_k – const, (u₀ ≠ u_k):

                                                                 (52)

Начальные (46) и конечные (47) значения всех фазовых координат определены при анализе статического режима (таблица 5).

   =>                                                 (53)

Если система устойчивая, то через некоторый промежуток времени, система перейдет из состояния V₀ в состояние V_k. Для численного интегрирования будем использовать неявный метод Эйлера. Вектор входных воздействий V_k  при  имеет вид:

                                                                  (54)

2.5.1 Выбор шага интегрирования.

Для устойчивости самого метода проведем выбор шага интегрирования h исходя из условия:

 ,                                                                                                         (55)

где  - собственное значение матрицы Якоби.

Для комплексного значения  условие имеет вид:

                                                                                (56)

Собственными значениями матрицы Якоби порядка n называют корни , где , ее характеристического уравнения, определяемого по формуле:

                                                                                                   (57)

где  А – матрица Якоби динамической модели;

Е – единичная матрица.

Произведем расчет матрицы Якоби по формуле (50), подставляя начальные значения фазовых координат:

                   (58)

Тогда характеристическое уравнение имеет вид:

                                             (59) 

Вычислим корни характеристического уравнения с помощью программы MathCad, тогда собственные значения матрицы Якоби имеют вид:

Корни характеристического уравнения имеют как отрицательные, так и положительные значения действительных частей, что говорит о неустойчивости системы.

Наличие комплексно-сопряженных корней дает затухающий колебательный процесс ряда фазовых координат. Для гидравлической системы рекомендуемый шаг интегрирования h=0.5с. Выполним проверку устойчивости численного метода Эйлера при данном шаге.

При λ=0:             =1;   

При λ=-0,617:             =1,3

При λ= -0,156 -0,342i:

При λ= λ= -0,156+0,342i:

Проверка условий выполняется, следовательно, шаг h=0.5 обеспечит устойчивость метода и приемлемую точность вычислений.

2.5.2 Решение систем дифференциальных уравнений методом Эйлера.

Формула численного интегрирования неявного метода Эйлера имеет вид:

                                                                                    (61)

Совместное преобразование двух последних выражений приводит к записи:

                                                                                                          (62)

где  - модифицированная матрица Якоби на k+1 шаге, которая формируется по следующему правилу:

Диагональные элементы матрицы Якоби на k-ом шаге пересчитываются по формуле:

                                                                                                  (63)

Остальные элементы не изменяются. Для матрицы размерности 5х5 получаем:

                                                   (64)

 - модифицированный вектор входных воздействий на k+1 шаге, определяемый по формуле:

                                                                                             (65)

Решение системы уравнений (61) дает значение фазовых координат на k+1 шаге, то есть в момент времени t_k+1.

Алгоритм неявного метода Эйлера с постоянным шагом интегрирования h:

1)  задание шага интегрирования h;

2)  задание начальных значений фазовых переменных  при t₀=0;

3)  вычисление времени t_k+1=t_k+h, где k=0,1,2… ;

4)  вычисление модифицированных матриц  и  на k+1 шаге;

5)  решение системы уравнений (61) с целью определения  в момент времени t_k+1;

6)  переход к этапу (3) до тех пор, пока в случае устойчивой системы фазовые координаты не достигнут состояния конечного значения .

Начальные значения вектора  определяются на основании входных воздействий системы. В качестве начальных значений фазовых переменных берем вектор начальных значений .

                                                                              

 Рисунок 7 – Графики фазовых координат M(n)₀, M(n)₁, M(n)₂, M(n)₃

Рисунок 7 – Переходный процесс гидросистемы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В первой части работы была произведена идентификация заданного дифференциального уравнения, по полученному уравнению теплопроводности построили графики отклонения струны, представляющие собой гармонические колебания.

Также синтезировали интегральную передаточную функцию, в результате чего получили передаточную функцию, с помощью которой построили ЛАЧХ. Аппроксимируя полученную ЛАЧХ типовыми наклонами получили характеристику апериодического звена 1-го порядка, а так же нашли уравнение передаточной функции W(p).

            При заданных граничных условиях g₁ и g₂ было смоделировано нагревание стержня в программе Elcut, получена цветовая шкала и график температуры.

Во второй части работы по схеме гидравлической системы нашли основные параметры трубопровода гидросистемы, произвели расчет статической и динамической модели. 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1979. -224с.

2 Власов В.В. Синтез интегральной передаточной функции для объектов управления с распределенными параметрами // Школа академика Власова: Сб. метод, тр - М.: Буркин, 1998. -128с.

3 Бесекерский В.А., Попов Н.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука. 1966. -992с.

4 Топчеев Ю.И Атлас для проектирования систем автоматического регулирования. - М : Наука. 1989. -752с.

5 Чемоданов Б.К., Иванов В.А., Медведев B.C., Юшенко А.С. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 - М.: Высшая школа, 1977. -366с.