Оцифровывание. Теория квантования. Теория дискретизации по времени, страница 6

   Таким образом, для восстановления аналогового сигнала схему фиксации нулевого порядка, необходимо брать, по крайней мере, 628 выборок на периоде синусоидального колебания, чтобы максимальная ошибка по величине была меньше 1%. Однако мы уже знаем, что теоретически для безошибочного восстановления достаточно, чтобы частота взятия выборок удовлетволяра неравенству: . Столь большое расхождение тесно связано с тем, что схему фиксации нулевого порядка легко реализовать, но в качестве фильтра она не обеспечивает при этом эффективного восстановления.

   На рис.4.27(b) приведена временная диаграмма для так называемой «схемы фиксации первого порядка с предсказанием». В этой схеме берутся значения входного сигнала в точках отсчета и по последнему интервалу между соседними выборками производится экстраполяция скорости изменения сигнала.

  Рис.4.27.(а) Амплитудно-частотные характеристики схемы фиксации нулевого порядка и экстраполирующей схемы фиксации первого порядка в случае применения каждой из них в качестве восстанавливающего фильтра.(b) Соответствующие фазо-частотные характеристики.  

Поэтому данную схему называют также «устройством, осуществляющим линейную экстраполяцию». Если такое устройство с линейной экстраполяцией используется в качестве восстанавливающего фильтра, то его передаточная функция имеет вид:

.

   Эта передаточная функция также представлена на рис.4.28. нетрудно видеть, что при таком методе восстановления фактически происходит усиление высокочастотных составляющих и не обеспечивается линейность фазо-частотной характеристики. Большой сдвиг фаз на высоких частотах у восстанавливающих фильтров этого типа приводит к тому, что системы сбора данных, в которых такой фильтр является одним из узлов в петле обратной связи, особенно склонны к самовозбуждению. При таком поведении передаточной функции на высоких частотах устойчивость в области нижних частот перестает быть решающим фактором. Производя необходимые вычисления, можно получить следующее выражение для максимальной мгновенной ошибки по величине в случае синусоидального сигнала:

                 .

   В схемах фиксации первого порядка (а также в схемах боле высокого порядка) ошибка максимальна вблизи пиковых значений синусоидального сигнала. Для получения 1%-ной ошибки нам нужно примерно 63 выборки на период (при синусоидальном сигнале).

   На рис.4.27(с) приведена временная диаграмма, характерная для восстанавливающих схем другого типа, а именно- для линейно интерполирующих схем фиксации первого порядка. В такой схеме осуществляется линейная интерполяция между соседними выборками, и в моменты отсчета сигнал на выходе системы совпадает с выборочным значением входного сигнала. Это возможно, естественно, только в том случае, когда известны оба граничных значения на концах интервала интерполяции. Поэтому на выходе интерполирующей восстанавливающей схемы сигнал появляется с задержкой по отношению ко входному сигналу, по меньшей мере, на один период, с которым берутся выборки. Можно показать, что при синусоидальном сигнале максимальная мгновенная ошибка по величине для восстанавливающего фильтра с линейной интерполяцией равна:

    .

по величине, как мы делали это для синусоидального сигнала. На рис.4.29 представлены некоторые результаты для сигналов 2-го (n=2)и 4-го (n=4) порядков.

   На этих графиках указана зависимость относительной ошибки  от отношения частоты взятия выборок к ширине спектра (шумового) сигнала на входе системы сбора данных. Здесь -полная ошибка в среднеквадратическом значении восстановленного тестового сигнала. На графике приведена ошибка, вносимая только при восстановлении в предположении, что фильтр, уменьшающий ошибки вследствие наложения спектров, расположен в области высоких частот, можно получить следующее выражение для ошибки при достаточно крутом спаде частотной характеристики восстанавливающего фильтра:

,

где n-порядок сигнала, а С- произвольная постоянная.

    Из нашего предыдущего рассмотрения нам известно, что ошибки восстановления могут приводить к большим ошибкам, вносимым системой сбора данных в целом. Давайте теперь примем во внимание другой источник ошибок, каким является процедура уменьшения ошибок вследствие наложения спектров. Поскольку мы вольны выбирать граничную частоту восстанавливающего фильтра (как это имеет место в случае аналоговых фильтров), мы можем оптимизировать систему сбора данных в отношении полной ошибки  . На рис.4.30 показан результат такой оптимизации, достигаемой за счет баланса между ошибками исключения и ошибками включения. В этом частном примере =10, а граничная частота восстанавливающего фильтра изменяется от 0,1до 10. На рис.4.30 представлен случай, когда в качестве восстанавливающего применен фильтр Баттерворта четвертого порядка, а тестовый сигнал второго порядка имеет ширину спектра .

   Полная ошибка состоит из ошибки исключения  и ошибки включения , поэтому .

   При малых значениях мы отфильтровываем слишком большую часть нулевой копии спектра входного сигнала (преобладает ошибка исключения), а при больших значениях мы оставляем слишком большую часть первой копии спектра (преобладает ошибка включения). Полная ошибка достигает минимума в точке >>3. На рис.4.29 указаны именно такие минимальные значения  для различных восстанавливающих фильтров и порядков тестового сигнала.

Рис.4.30.Полная ошибка   «ошибка исключения»  и «ошибка включения»  для фильтра Баттерворта 4-го порядка и сигнал 2-го порядка.