Оцифровывание. Теория квантования. Теория дискретизации по времени, страница 3

Рис. 4.21. Время захвата и апертурное время в схеме выборки и хранения. NB: Ради наглядности, временные интервалы и наклон входного сигнала значительно преувеличены.

   Теперь мы обратимся к теории, лежащей в основе представления сигналов посредством выборок. На временных диаграммах на рис. 4.20 моменты взятия выборок расположены на оси времени не равномерно. Поэтому в дальнейшем мы не сможем восстановить форму входного сигнала. В ряде приложений моменты взятия выборок устанавливаются на оси времени случайно. При таком случайном взятии выборок информация о форме теряется. По случайным выборкам мы можем определить только плотность распределения вероятностей. Таким образом, случайные выборки дают нам статистическую информацию о величине входного сигнала. Это означает, что таким способом мы можем измерить среднеквадратическое и пиковое значения входного сигнала, определить диапазон принимаемых им значений и т.п., но только не форму сигнала или его спектр.

   Во многих случаях взятие выборок сигнала осуществляется в равноотстоящие моменты времени. Тогда важно решить вопрос о том, как много выборок необходимо брать в единицу времени, чтобы иметь возможность достаточно полно описать непрерывный по времени сигнал. Производя взятие выборок, мы не хотим потерять информацию, однако мы не хотим также брать выборки слишком часто. Ответ на этот вопрос дает теорема Шеннона о выборках. В этой теореме утверждается, что для восстановления (без ошибок) исходного сигнала по его выборочным значениям, взятым через равные промежутки времени, частота взятия выборок должна более, чем вдвое, превосходить частоту самой высокочастотной составляющей, имеющейся в непрерывном входном сигнале. Необходимо отметить, что под «входным сигналом» здесь понимается не самый сигнал, являющийся предметом рассмотрения, а сигнал, включающий также все компоненты искажений и шума. Таким образом, в теореме предполагается, что существует такая максимальная частота, выше которой спектральная плотность мощности равна нулю.

   Чтобы представить себе, что произойдет, если это требование не будет выполнено, рассмотрим частотный спектр, возникающий в результате взятия выборок непрерывного по времени сигнала. Ради простоты, речь пойдет только о значениях сигнала, представленного посредством выборок, в моменты взятия выборок (см. рис. 4.22).

   Сигнал, представленный посредством выборок, можно записать как произведение аналогового входного сигнала (t) и сигнала S(t), представляющего собой последовательность равноотстоящих единичных -импульсов. Таким образом, имеем: , где S(t)=; (-функции ) называют также импульсами Дирака. Это функции, которые не равны нулю только в точке, и такие, что площадь под ними, получаемая в результате интегрирования по времени, равна единице (одной секунде). Поскольку сигнал S(f) является периодическим, его можно представить в виде ряда Фурье: .

   Коэффициенты Фурье  равны:

.

   Поскольку значения S(f) (на интервале  не равны нулю только в точках справедливо следующее равенство:

.,

Рис. 4.22. (а) Сигнал, представленный посредством выборок, взятых через равные промежутки времени, состоящий из -функций. (Ь) Мультипликативная модель устройства взятия -образных выборок

где m выбрано таким образом, чтобы .Поскольку , преобразование Фурье для имеет вид:

   .

      Здесь  – преобразование Фурье от входного сигнала .Значения идентичны амплитудному спектру входного сигнала , выраженному в В/Гц. Из нашего вывода следует, что амплитудный спектр сигнала, представленного посредством выборок,  равен спектру входного сигнала , умноженному на 1/и повторенному симметрично по обе стороны от каждой из частот . Таким образом, как видно из рис. 4.23, спектр сигнала, представленного посредством выборок, является совокупностью бесконечного числа копий низкочастотного спектра входного сигнала ,располагающихся симметрично относительно частот, которые, в свою очередь, являются гармониками частоты, с которой берутся выборки. Любая одна такая копия содержит всю информацию о входном сигнале. Говорят, что при таком повторении спектров происходит их «наложение». Нулевая копия лежит в полосе частот, занимаемой спектром исходного сигнала , а n-я копия – в окрестности частоты.

   Подобное повторение копий спектра происходит также и в том случае, когда процедура взятия выборок не является столь идеальной. Например, при ненулевой длительности импульса, посредством которого осуществляется взятие выборки, и даже в том случае, когда выборочное значение удерживается схемой выборки и хранения в течение всего периода взятия выборок, происходит указанное повторение копий спектра. Правда, копии с большими номерами являются при этом меньшими по величине, нежели в рассмотренном случае взятия выборок с помощью -функций.

Рис. 4.23. Спектры сигналов, о которых идет речь в процедуре взятия выборок согласно рис. 4.22.– спектр входного сигнала ,  – спектр управляющего сигнала ,которым задаются моменты взятия выборок, и– спектр сигнала ,представленного посредством выборок.