Теория параллельных прямых. Теория треугольника, страница 5

1.1.4.  При создании данного курса, мы использовали следующий методический прием изложения: сначала выполняется некоторое построение или предлагается готовый рисунок, проводится наблюдение и формулируется утверждение (в статусе «видно»), затем ставится вопрос об истинности этого утверждения, а доказательство иногда приводится сразу, а чаще откладывается для того, чтобы учащиеся могли обсудить этот вопрос сами.

1.1.5.  Этот прием (см. пункт 4) требует явного различения практического действия (построение на бумаге, на доске) и идеального (работа с идеальными геометрическими инструментами или использование теоретических положений и фактов). Например, измерение транспортиром – это практическое действие, а идеальных транспортиров не существует (почему и приходится прибегать к понятию поперечины).

1.1.6.  При составлении учебника возник вопрос о месте расположения исторических сведений: расположить их внутри главы, либо в конце главы. Если исторические сведения расположить в конце главы, дети должны будут сравнивать свое сложившееся представление о чем-либо с другим представлением. При этом представление детей складываются так, как считает нужным автор. Если исторические сведения расположить внутри главы, то предполагается сравнение еще только складывающегося представления детей с другим. Это разные задачи. Авторы решили исторические сведения ставить после каждой главы учебника.

1.1.7.  Для задания геометрических объектов мы используем метод генетического определения, метод формально – логического определения, метод структурного определения и метод геометрических построений. Иногда один и тот же объект вводится при помощи разных методов.

1.2. Объяснительная записка к третьей главе учебника.

1.2.1. Об аксиоме параллельности.

Учебник А.В.Погорелова написан в рамках евклидовой геометрии. Поэтому у школьника даже подозрения не возникает, что существуют другие, неевклидовы геометрии.

Эквивалент пятого постулата Евклида о параллельных формулируется так: ”Через заданную точку можно провести не более одной прямой, параллельной заданной прямой” [5, с.210]. Таким образом, здесь подразумевается возможность существования одной параллельной прямой или ни одной. А.В.Погорелов же пытается доказать недоказуемое, а именно то, что существует (и одна) такая параллельная прямая. В результате не возникают возможные вопросы, по поводу того, сколько же может быть прямых, параллельных данной.

Именно потому, что А.В.Погорелов не выходит за рамки евклидовой геометрии, у него аксиомы определяются как “утверждения, содержащиеся в формулировках основных свойств простейших фигур, не доказываются” и они не вызывают сомнений [14,с.18], т.е. как очевидные утверждения, которые ребёнок должен принимать как факт. Это типичный авторитарный подход. В данном определении авторы учебника упускают самую суть аксиомы, её функциональное назначение. Согласно определению “Аксиома – отправное, исходное положение какой-либо теории, лежащее в основе доказательств других положений этой теории, в пределах которой оно принимается без доказательств” [12,с.23]. Таким образом, суть аксиомы в том, что это исходное, отправное положение, в котором гипотеза не проверяется, а берётся в качестве отправной точки теории.

При введении аксиом мы предлагаем ученикам ситуацию логического исследования возможных вариантов, тем самым мы не ставим препятствий при движении мысли ребёнка, с последующим договором. Например, при введении аксиомы параллельности, исследуем логически возможные варианты ответов на вопрос о количестве параллельных прямых данной прямой, т.е. может быть одна параллельная прямая, ни одной или несколько. Тем самым мы хотим выйти на границу евклидовой и неевклидовой геометрий.

1.2.2. О теореме Фалеса.

В эту главу, как фундаментальный факт включена Теорема Фалеса, которая является частью теории параллельных прямых, но традиционно ее изучают в 8 классе, оторвав от теории, с которой она связана.