Теория параллельных прямых. Теория треугольника, страница 16

Верно и обратное утверждение.

Лемма 3. Если параллельные прямые равноудалены, то отрезки секущей, расположенной между параллельными прямыми равны.

Доказательство. Нам дано, что A1В1=B1C1 и A1C1^CC1(рис.3.31). Докажем, что АВ=ВС.

Через точку В проведём прямую DE, параллельнуюA1C1 (рис. 3.32, а). Так как прямые AA1, BB1, CC1 параллельны и прямая DE параллельна прямой A1C1,тоDB=A1B1 иBE=B1C1, и значит DB=BE (по лемме 1).

УглыÐCBE и ÐABD равны как вертикальные и равны отрезки DB и BE. Углы ÐАDB и ÐСЕB равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых  AA1 иCC1 и  секущейDE.

На луче отложим отрезок BF, равный отрезку (рис.3.32, б). Углы ÐCBE и ÐDBF равны, значит, их соответственные поперечины CE и DF равны (проверьте, действительно ли они являются соответственными). То есть BF и BC – соответственные поперечины углов ÐFDB и ÐECB, но они равны по построению, а значит, угол ÐFDB равен углу ÐECB. Но угол ÐECB равен углу ÐADB. Это означает, что равны углы ÐFDB иÐADB, то есть точка F лежит на луче AD. По построению точка F лежит на луче ВA. Но эти лучи пересекаются в точке A, то есть точки A и F совпадают и AB=BF=BC. Следовательно, BA=BC. Утверждение леммы 3 доказано.

Если мы обобщим наши рассуждения, то сможем сформулировать теорему для большего количества прямых.

3.5. Взаимное расположение пяти прямых.

Задание 5. На рисунке 3.31 изображены три случая взаимного расположения прямых. Каждый из них обобщает какую-нибудь лемму. Подумайте, какую именно. Изобразите остальные случаи взаимного расположения пяти прямых.

Рис.3.33

Теорема 3.6 (теорема Фалеса). Если три параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на одной прямой равные между собой отрезки, то они отсекают равные между собой отрезки и на другой прямой.

Доказательство. Пусть А123 - точкипересечения параллельных прямых с одной из данных прямых и А2 лежит между А1 и А3. И пусть В1, В23 - соответствующие точки пересечения этих прямых с другой прямой (рис.3.34). Докажем, что если А1А22А3, то В1В22В3.

Рис.3.34

Так как А1А22А3, топо лемме 2 расстояние между прямыми А1В1, А2В2, равнорасстоянию между прямыми А2В2, А3В3, тогда по лемме 3 В1В22В3. Теорема доказана для трех параллельных прямых.

Замечание. Равные отрезки можно откладывать от точки пересечения секущих, то есть так: АВ11В22В3. Тогда и на другой прямой равные отрезки надо считать от точки пересечения, т.е. так: АА11А22А3.