Теория параллельных прямых. Теория треугольника, страница 22

Рис.4.25

То есть, если для каждой из сторон одного треугольника найдется равная ей сторона в другом треугольнике (и обратно), то для каждого из углов одного треугольника найдется равный ему угол в другом треугольнике, и треугольники будут равны по определению.

Итак, мы доказали I признак равенства треугольников.

Теорема 4.5. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В других учебниках этот признак обычно называют III признаком равенства треугольников.

Итак, для определения равенства двух треугольников не достаточно знать, что одна или две стороны и сколько-то углов одного треугольника равны такому же количеству сторон и углов другого треугольника.

А если к этому знанию добавить еще знание о расположении углов и сторон?

Давайте попробуем в I признаке равенства треугольников заменить отношение одной или двух сторон отношением противолежащих им углов?

Пусть две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника и равны углы между этими сторонами, то есть противолежащие сторонам, про которые ничего не известно (рис.4.26).

Равны ли такие треугольники?

Рис.4.26

В треугольниках на рисунке 4.26 АВ=А1В1, АС=А1С1, ÐВАС=ÐВ1А1С1. ВС и В1С1 – соответствующие поперечины углов ÐВАС и ÐВ1А1С1. Но эти углы равны, значит ВС=В1С1. Итак, три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, следовательно такие треугольники равны по I признаку равенства треугольников.

Мы доказали II признак равенства треугольников.

Теорема 4.6. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

А если в I признаке равенства треугольников равенство двух сторон заменить равенством противолежащих углов? Будут ли равны такие треугольники (рис.4.27)?

Рис.4.27

В треугольниках DАВС и DА1В1С1 рисунке 4.27 АВ=А1В1, ÐСВА=ÐС1В1А1, ÐСАВ=ÐС1А1В1. Докажем, что треугольники равны.

На луче А1С1 отложим отрезок А1Е, равный отрезку АС (рис.4.28). Углы ÐB и ÐЕА1В1 равны, значит, их соответствующие поперечины и ЕВ1 равны (проверьте, действительно ли они являются соответствующими).

Рис.4.28

То есть АС и А1Е – соответствующие поперечины углов ÐСВА и ÐEB1А1, но эти отрезки равны по построению, а значит, угол ÐEB1А1 равен углу ÐCBА. Но угол ÐCBА равен углу ÐС1А1В1. Это означает, что равны углы ÐС1А1В1 иÐEB1А1, то есть точка Е лежит на луче В1С1. По построению точка Е лежит также и на луче А1С1. Но эти лучи пересекаются в точке С1, то есть точки С1 и Е совпадают и AС=А1Е=А1С1 и  ВС=В1С1. А,  значит,  треугольники равны по  I признаку равенства треугольников.