2. При введении родовидовых определений классических четырехугольников мы столкнулись с проблемой выбора рода фигуры, видом которого она является. Появилась необходимость определить, насколько род фигуры должен быть общим.
Рассмотрим для примера прямоугольник.
Прямоугольник можно определить как параллелограмм с прямыми углами, как трапецию с прямыми углами или как четырехугольник с прямыми углами.
Принятие любого определения прямоугольника имеет свои плюсы и минусы.
Если прямоугольником назвать параллелограмм, то школьники из определения будут иметь представление о том, как он выглядит. Также, назвав прямоугольник параллелограммом, не понадобится выводить и доказывать все его свойства, - почти все свойства прямоугольника «наследуются» от параллелограмма. Однако, если понадобится доказать, что некоторый четырехугольник является прямоугольником, придется доказывать, что этот четырехугольник является параллелограммом и что у него все углы прямые.
Если же мы прямоугольником назовем четырехугольник с прямыми углами, то вывод его свойств усложнится, а доказательство того, что некоторый четырехугольник является прямоугольником, упростится.
Определение прямоугольника через трапецию вообще собирает в себе все «минусы» двух других определений.
Итак, как видно на примере с прямоугольником, перед нами встал непростой вопрос. Принцип общего и особенных случаев не позволяет решить его (и четырехугольник, и трапеция, и параллелограмм являются общими случаями прямоугольника).
Мы основываемся на том, что максимальное расширение рода с последующим рассмотрением более узких родов, позволяет представить проблему родовидовых определений. По этой причине в учебнике определения прямоугольника и ромба даются через четырехугольник.
«Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые» [c.30].
«Ромбом называется четырехугольник, у которого все стороны равны» [c.32].
Отсутствие избыточности, которая есть в определениях типа «прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые», и «наследование» фигурой свойств рода, видом которого она является, послужили основанием рассматривать квадрат как вид ромба.
«Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые» [c.34].
Конечно, с таким же успехом мы могли квадратом назвать прямоугольник с равными сторонами. В данном случае на наше решение повлияло определение квадрата, данное в математической энциклопедии.
Проблема родовидовых определений вывела нас на проблему определения трапеции. Во всех источниках трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а другие две нет. Мы задались вопросом, насколько принципиальна не параллельность боковых сторон. Никаких причин, кроме исторической традиции, мы для этого ограничения не нашли, поэтому посчитали возможным снять его.
«Простой четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, называется трапецией» [c.28].
§ 4.4 Объяснительная записка к главе «Площадь».
1. Для школьника, который обучался по программам РО в начальной школе, может возникнуть проблема несоответствия общего способа измерения площади произвольной меркой (в том числе произвольной по форме), и принятого в математике способа измерения площади – квадрирования, то есть измерения площади через квадрат.
Это несоответствие имеет глубокую предметную природу.
Школьник из начальной школы выносит представление о том, что любая плоская фигура имеет площадь и, как следствие, любую плоскую фигуру можно брать в качестве мерки. Курс математики в средней школе укрепляет это представление. Однако математике известны примеры неквадрируемых множеств (см. [Виленкин, с.141-143]), которые показывают несостоятельность этой наивной точки зрения. Поэтому, прежде чем выбрать в качестве мерки некую плоскую фигуру сложной формы, нужно определить, что будет называться ее площадью.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.