Анализ линейных систем автоматического управления: Методическое пособие по дисциплине "Теория автоматического управления", страница 4

Полученное аналитическое выражение решения уравнения (2.3) позволяет ответить на многие вопросы по работе системы, которая описана данным уравнением:

-  как будет выглядеть переходный процесс;

-  будет ли система устойчива или нет;

-  каково быстродействие системы;

-  какова точность системы.

Исследование САУ, поведение которой описывается линейными дифференциальными уравнениями высших порядков, путем аналитического решения этих уравнений – задача не из простых. Но если порядок уравнения не очень высокий (например, второй), коэффициенты уравнения не меняются во времени, а внешнее воздействие может быть описано математическим выражением вида:

                                     ,

где P_m(t)  и  Q_m(t)       - многочлены порядка m и n соответственно,
то общее решение уравнения

                                                      (2.6)

можно найти в виде

            ,
где

        - общее решение соответствующего однородного уравнения,

                           - частные решения, образующие фундаментальную группу решений соответствующего однородного уравнения,

x^*(t)                                               - какое-либо частное решение неоднородного уравнения

Частные решения для фундаментальной группы соответствующего однородного уравнения можно определить с помощью метода, предложенного Эйлером. Для этого составляется характеристическое уравнение

,

решение которого дает n значений λ. Если решения

- действительные и разные, то ,

- действительные, но имеют кратность k, то  (i принимает значения от 1 до k),

- комплексные сопряженные, то  и .

Частное решение неоднородного уравнения ищется в форме

,

в которой l = max(m,n), R_l(t), T_l(t) – многочлены порядка l с неопределенными коэффициентами. Показатель степени s определяется следующим образом:
s = 0, если число (α + jω) не совпадают ни с одним из корней характеристического             уравнения;
s = k, если число (α + jω) совпадает с корнями характеристического уравнения кратности k.

На пример если на систему, собственное поведение которой описывается дифференциальным уравнением второго порядка, а внешнее воздействие определено функцией при начальных условиях , .

Требуется найти свободное (собственное) и вынужденное движение системы.

1)  Запишем  характеристическое уравнение

                  ,

которое имеет два решения , .

Общее решение однородного уравнения в этом случае будет иметь вид:
                   .

Из начальных условий

имеем , .
При этом общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

Для определения общего решения неоднородного уравнения (вынужденного движения системы) зададим частное решение неоднородного уравнения в виде:

               . Тогда , а .

Подставив последние значения в исходное уравнение, получим

.

Отсюда А=1,

Теперь можно записать общее решение неоднородного уравнения:

.

    Если заданы начальные условия, например ; , то можно определить произвольные постоянные

                        .

Вынужденное движение в этом случае будет:

              

2.3.  Исследование систем в частотной области

2.3.1.   Ряды Фурье

Функция f(t) называется периодической, если f(t)=f(t + πT) ,

Где      n=0;±1;±2;±3;…;

T – период.

Любую периодическую функцию можно выразить с помощью системы функций:

φ₁ (t); φ₂(t);……;  φ_n (t);.., если эта система ортогональна на отрезке длиною T.

Система будет ортогональной на отрезке [a;b], если выполняется следующее условия:

В теории автоматического управления, в основном, используется тригонометрическая система общего вида:   1; …;…, которая ортогональная на отрезке [-l; l] или на любом другом отрезке длиной 2l. Или ее частный случай – основная тригонометрическая система:   1; cos t; sin t; cos 2t; sin 2t;….;cos nt; sin nt;…, которая ортогональная на отрезке [-π;π]  или на любом другом отрезке длиной 2π.

Для того чтобы убедиться в том, что системы ортогональны, найдем 8 интегралов (сделаем это для основной тригонометрической системы):