Решебник по физике. Части 1-3 "Термодинамика", "Статистическая физика" и "Физическая кинетика", страница 14

С другой стороны, по формуле Больцмана

ΔS = k ln (W2 / W1).

Приравняв эти два выражения для ΔS, можно найти

W2 / W1 = exp (Q / k × (T1–1 – T2–1)).

Если Q = 1 эрг = 10 –7 Дж, W/ W1 » exp(1012/12) » . Чудовищно большое значение этого отношения говорит о том, что именно такой переход всегда и происходит. Обратный же переход никогда не наблюдается.

Однако, если Q = 1,2×10–12 эрг, то W/ W1 » exp (0,1) » 1. Таким образом, происходят оба перехода с примерно одинаковой вероятностью.

2.1. Энергия линейного гармонического осциллятора определяется формулой

Тогда для первой системы выполняется уравнение

E1 = (n1 + n2 + 1) = 

и, следовательно, n1 = n2 = 0. Первоначально первая система находится в единственном квантовом состоянии, ее энтропия равна нулю: S1 = 0.

Аналогично для второй системы

E2 = (n3 + n4 + 1) = 

Отсюда n3 + n4 = 2. Возможные комбинации значений квантовых чисел n3 и n4 следующие:

n3

2

1

0

n4

0

1

2

Три различные комбинации – три различных состояния системы. Первоначальное значение энтропии второй системы S2 = k×ln 3.

Полная энергия объединенной системы равна

E = E1 + E2 =

После установления теплового контакта между исходными системами энергия может быть локализована на любом из четырех осцилляторов, что отображается уравнением:

E1 = (n1 + n2 + n3 + n4 + 2) = 

откуда n1 + n2 + n3 + n4 = 2. Возможные комбинации значений квантовых чисел объединенной системы определяются из приведенной ниже таблицы.

n1

2

0

0

0

1

1

1

0

0

0

n2

0

2

0

0

1

0

0

1

1

0

n3

0

0

2

0

0

1

0

1

0

1

n4

0

0

0

2

0

0

1

0

1

1

Всего 10 различных комбинаций, и, следовательно, 10 разных состояний полной системы. Ее энтропия равна S = k×ln 10. Результирующее изменение энтропии полной системы

DS = S – S1 – S2 = k×ln (10/3).

2.2. При фиксированных внешних параметрах уровни энергии остаются неизменными. Подвод теплоты Q приводит к изменению распределения частиц по уровням энергии. В результате средняя энергия системы увеличивается. Средняя энергия определяется выражением

До подогрева она равна = –mB×0.9 + mB×0.1 = –0.8mB, после подогрева = –mB×0.6 + mB×0.4 = – 0.2mB (здесь учтено, что вероятность находиться системе на нижнем уровне энергии выше). Поглощаемая системой теплота равна Q =  = 0.6mB.

2.3. Система A и A¢ (из трех и двух спинов соответственно) образуют полную систему A0. Энергия взаимодействия между спинами пренебрежимо мала, так что полная энергия равна сумме энергий систем A и A¢:

E0 = – (M + M¢)B,

где M и M¢ их магнитные моменты.

Система A0 состоит из пяти спинов и поэтому обладает 25 = 32 возможными состояниями, каждое из которых может быть обозначено квантовыми числами s1, s2, s3 (для первой системы A) и s¢1, s¢2 (для системы A¢). Эти квантовые числа указывают ориентацию магнитных моментов отдельных спинов. Энергия изолированной системы A0 равна

E0 = –3mB.