Кратные интегралы, страница 7

Ответ:    1.

Задача 6.15.

Условие: Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

Решение:

                        y

Подпись: x = - 4
Подпись: x = 8
 


                        0

                                         y = -4x

y = 32-x2

Найдём точки пересечения графиков y = 32 - x2 и y = - 4x:

- x2 + 4x + 32 = 0 | · (- 1)

  x2 - 4x - 32 = 0

D = 16 + 128 = 144 > 0, x1 ≠ x2

;

x1 = 8;     y1 = - 32;

x2 = - 4;   y2 = 16.

Тогда,

Ответ: 288 кв.ед.

Задача 7.15.

Условие: Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

Решение:                           Выделим полный квадрат:

Ÿ  y2 – 2y + x2 = y2 – 2·y·1 + 1 – 1 + x2 = (y – 1)2 + x2 – 1.

(y – 1)2 + x2 = 1 – уравнение окружности с центром в т. (0,1) и R = 1.

Ÿ  y2 – 6y + x2 = y2 – 2·y·3 + 9 – 9 + x2 = (y – 3)2 + x2 – 9.

(y – 3)2 + x2 = 9 – уравнение окружности с центром в т. (0,3) и R = 3.

Перейдём к полярной системе координат, т.к. область интегрирования – круговой сектор:

, I = r.

Ÿ  y2 – 2y + x2 = 0   →   r2sin2φ – 2rsinφ + r2cos2φ = 0

r2 – 2rsinφ = 0   | : r

r - 2sinφ = 0

r = 2sinφ

Ÿ  y2 – 6y + x2 = 0   →   r2sin2φ – 6rsinφ + r2cos2φ = 0

r2 – 6rsinφ = 0   | : r

r - 6sinφ = 0

r = 6sinφ

Ÿ     →   rsinφ =