Кратные интегралы, страница 2

Свойства двойного интеграла:

1. Если функции f(x,y) и φ(x,y) интегрируемы в области S, то в этой области интегрируемы их сумма и разность f±φ, и верно равенство:

.

2. Если С=const, то

.

3. Если область S можно представить в виде S=S₁US₂, S₁∩S₂=пустому множеству, то

.

4. Если функции f и φ интегрируемы в области S и f≤φ в этой области, то

.

5. Если функция f интегрируема в области S, то | f| также интегрируема в этой области:

.

6. Если в области S  m≤f(x,y)≤М, где mи M – числа, то , где S – площадь области S.

Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла.

Вопрос 3. Теорема о среднем для двойного и тройного интегралов.

Теорема о среднем значении для двойного интеграла: Если функция f(P) непрерывна в ограниченной замкнутой области D, то найдется по крайней мере одна точка P_c в области D такая, что будет справедлива формула

,

где S– площадь области D.

Теорема о среднем значении для тройного интеграла: Если функция f(P)  непрерывна в замкнутой кубируемой в области Ω, то найдется точка P_c€Ω,  такая, что будет справедлива формула

где V – объем области Ω.

Вопрос 4. Вычисление двойных интегралов двумя последовательными интегрированиями (случай прямоугольной области).

Пусть область R – замкнутый прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат R={(x,y): a≤x≤b, c≤y≤d}.

Пусть функция f непрерывна и неотрицательна в области R. Двойной интеграл  равен объему цилиндрического тела с основанием R, ограниченного поверхностью z=f(x,y).

С другой стороны, объём тела можно вычислить: , где σ(x) – площадь сечения данного тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox. По условию , тогда . Полученный интеграл называется повторным. Его можно записать в виде: . Тогда получаем .