Задачи на доказательство. Основные теоремы и некоторые наблюдения

Задачи на доказательство

Основные теоремы и некоторые наблюдения.

Наблюдение 1. В любой трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Наблюдение 2. (о хордах окружности; о касательной и секущей)

1) Теорема о секущей и касательной, проведенных из одной точки:

2) Каждая из двух пересекающихся хорд делится точкой пересечения на части так, что произведения частей одинаковы.

3) Пусть две непараллельные прямые высекают на окружности дуги величиной a и b. Тогда если точка пересечения этих прямых лежит внутри круга, то угол между прямыми равен , а если вне круга, то угол между прямыми равен .

Необходимо проделать некоторые вспомогательные построения!

Задача 1. Биссектриса внешнего угла при вершине C треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что AD = BD.

Задача 2. Две окружности пересекаются в точках А и В. Пусть M - любая точка прямой AB вне отрезка AB. Доказать, что касательные, проведенные из M к данным окружностям, равны между собой.

Задача 3. Прямая, пересекающая основание равнобедренного треугольника и проходящая через противоположную вершину, делит треугольник на два треугольника. Доказать, что радиусы окружностей, описанных около полученных треугольников, равны.

Задача 4. Внутри угла с вершиной О, отличного от прямого, взята точка М, А и В - основания перпендикуляров, опущенных из М на стороны угла. Доказать, что прямая, проходящая через середины ОМ и АВ, перпендикулярна АВ. (описать окружность)

Задача 6. В окружность вписан прямоугольник. Из некоторой точки M данной окружности на диагонали прямоугольника опущены перпендикуляры MP и MQ. Доказать, что длина отрезка PQ не зависит от выбора точки M.

Наблюдение 3. (об ортоцентрическом треугольнике)

Теорема: отрезок A₁B₁, соединяющий основания высот остроугольного треугольника ABC отсекает от него подобный треугольник, причем коэффициентом подобия является косинус угла C.

Наблюдение 4. (вокруг площади треугольника, теорема о биссектрисе)

Задача 3. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Точки M и N – соответственно середины его противоположных торон AB и CD. Доказать, что площадь четырехугольника DMBN составляет половину площади четырехугольника ABCD.

Задача 6. Точки M и K – середины сторон  BC и AD выпуклого четырехугольника ABCD. Прямые BK, CK, AM и DM делят четырехугольник на семь частей: один четырехугольник и шесть треугольников. Доказать, что площадь образовавшегося четырехугольника равна сумме площадей двух треугольников, прилежащих к AB и CD.

Векторы в геометрических задачах

Задача 2. Пусть M - точка пересечения медиан треугольника ABC. Доказать, что:

 (Здесь О- любая точка пространства)

Задача 2. В окружность вписан правильный . Пусть М - произвольная точка окружности. Доказать, что сумма  не зависит от положения точки М.

Задача 2. Дан треугольник ABC. Для любой точки M рассмотрим сумму . Доказать, что наименьшее значение этой суммы дает точка пересечения медиан треугольника ABC

Наблюдение 5. (по следам теоремы косинусов)

Пусть дан треугольник ABC со сторонами , , (рис. ). Длина медианы AM обозначим через m, угол AMC через j, тогда .

, , .

, , .

Задача 2. Докажите, что в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумма квадратов его сторон.

Задача 2. Доказать, что в любом треугольнике , где  медианы, - периметр треугольника.

Задача 2. Доказать, что в любом треугольнике , где , ,  -высоты, -радиус вписанной окружности.

Задача 11. Длины двух сторон треугольника равны 10 и 15. Докажите, что биссектриса угла между ними не больше 12.

Увидеть равные треугольники

Задача  Около правильного  описана окружность. Доказать, что для любой точки М этой окружности наибольшая из хорд МА, МВ, МС равна сумме двух других.

Задача. Два равнобедренных прямоугольных треугольника ABM и CDM с гипотенузами AB и CD расположены так, что ABCD- четырехугольник. Доказать, что диагонали ABCD равна и перпендикулярны.

Ошибки в геометрических доказательствах

 Задачи на построения

Простейшее геометрическое множество точек

1.87. Концы отрезка заданной длины скользят по сторонам данного прямого угла. Какую линию описывает середина отрезка?

1.88. Построить треугольник, если даны: a) две стороны и медиана, проведеннай к третьей стороне; b) три медианы; с) середины его трех сторон.

1.90. Дан круг и точка A вне него. Провести через точку A прямую, пересекающую окружность в точках B и C так, чтобы AC =2 AB.

1.92. Дан угол с вершиной O и точка A внутри угла. Провести через точку A прямую так, чтобы отрезок этой прямой внутри угла делился точкой A пополам.

1.93. Построить параллелограмм, у которого середины трех сторон лежат в заданных точках.

Задача 22. Даны точки A и B. Найти г.м.т. плоскости, разность квадратов расстояний от которых до A и B равна постоянной величине .

Решение.

Задача 21. Рассмотрим всевозможные треугольники с данным основанием AB и заданным противолежащим углом j. Найдите г.м.т

a)  точек пересечения медиан

b)  точек пересечения биссектрис

c)  точек пересечения высот.

Простейшее построения

Задача 1.105. Даны отрезки a, b, c. Построить отрезки  и .

Задача 1.107. Дана прямая l, лежащая на ней точка B и точка A, не лежащая на прямой l. Построить окружность, которая касается l в точке B и проходит через точку A.