Задачи на доказательство. Основные теоремы и некоторые наблюдения, страница 3

Задача 1.115.^* Даны прямая l и две точки A и B по одну сторону от l. Построить окружность, проходящую через A, B и касающуюся прямой l. Сколько решений имеет задача?

Подсказка

Условие задачи требует, чтобы искомая окружность проходила через точки A и B. Это требование позволяет провести целое множество окружностей. Центры всех таких окружностей, проходящих через A и B, лежат на серединном перпендикуляре к AB. Из всего этого множества окружностей требуется выделить только одну (а может и не одну) окружность, касающуюся прямой l. Если бы точка касания искомой окружности с прямой l была известна, задача стала бы довольно простой (провести окружность через три данные точки). Нельзя ли построить эту точку касания, используя данные точки A и B? Какие построения можно сделать имея в качестве исходного материала две точки A, B и прямую l?

Решение. Представим, что искомая окружность уже построена (рис. ). Проведем прямую AB, которая пересекается с прямой l в точке C. Появившаяся новая точка C должна как-то помочь построить точку K касания окружности с прямой l. Заметим, что из точки C к искомой окружности проведена секущая CB (известной длины) и касательная CK (неизвестной длины). Применяя теорему о касательной и секущей (наблюдение 2), запишем , где , . Отрезок длиной  можно построить; отложив его от точки C, получим на прямой l искомую точку K. Отложить длину  можно как вправо, так и влево от точки C, поэтому в общем случае существуют две точки касания K₁ и K₂ (рис. ). Соответственно, существуют, вообще говоря, две окружности, удовлетворяющие условию (проходящие через A, B и касающиеся прямой l). В нашем построении главную роль играет точка C, однако если AB êêl, то построить точку C нельзя. В этом частном случае серединный перпендикуляр к AB, на котором лежит центр искомой окружности, оказывается перпендикуляром к прямой l; точка пересечения этих двух прямых оказывается точкой касания искомой окружности с прямой l (рис. ). В случае AB êêl задача имеет единственное решение.

Задача 1.116.^* Построить треугольник, если даны: сторона a, противолежащий угол a и периметр p. При каких значениях a, p, a задача имеет решение и сколько решений?

Решение. Попробуем удовлетворить условию задачи лишь частично. Не будем пока учитывать требование о периметре треугольника. Построим множество точек, из которых отрезок BC длиной a виден под заданным углом a (т. е. дугу окружности). Любая точка M этой дуги дает треугольник MBC, в котором сторона длиной a лежит против угла a. Теперь надо учесть последнее требование и из всех точек построенной дуги выбрать те, которые дают треугольник нужного периметра. Предположим, что искомая точка M уже найдена (рис. ). В треугольнике MBC по условию . Это условие пока еще не позволяет построить треугольник MBC. Вот если бы длина одного из отрезков MB, MC была известна, то задача стала бы совсем простой! При заданном значении суммарной длины каждый из двух отрезков MB и MC может иметь любую длину (в диапазоне от 0 до ); эта неопределенность затрудняет построение. Гораздо проще иметь один отрезок заданной длины вместо двух. На продолжении отрезка CM отложим MA = MB. Полученную таким образом точку A соединим с точкой B (рис. ); получился треугольник ABC, в котором , .

Подсказка

Получившийся треугольник ABC как-то связан с искомым треугольником; он должен как-то помочь нам выбрать на дуге нужную вершину M, но как? Нет ли какой-либо связи между заданным углом a и углами треугольника ABC?