Задачи на доказательство. Основные теоремы и некоторые наблюдения, страница 4

Заметим, что треугольник AMB равнобедренный, а его внешний угол CMB равен a. Следовательно . В треугольнике ABC известны длины двух сторон и величина угла, противолежащего одной из них; этот треугольник можно построить. Построение: от вершины A угла величиной a/2 отложим на его стороне отрезок  (рис. ). Из точки C как из центра опишем окружность радиуса a, которая пересечет другую сторону угла в двух точках B₁ и B₂ (если ). Из точки B₁ проведем луч B₁M₁ так, чтобы . Поскольку , то  и . Построенный треугольник B₁M₁C – искомый. Задача имеет решение если .

Упражнение 16

Покажите, что если такое же построение сделать для точки B₂, то получится треугольник, равный треугольнику B₁M₁C.

Построить окружность заданного радиуса, которая касается двух данных окружностей.

Построить окружность, которая касается данной окружности  в заданной точке A и проходит через заданную точку B.

Дана окружность, центр которой не указан. Постройте центр этой окружности.

Построить биссектрису угла, вершина которого недоступна.

Внутри острого угла с недоступной вершиной A дана точка B. Построить прямую AB.

Построить окружность данного радиуса, вписанную в заданный угол.

Построить треугольник по трем его медианам.

Построить треугольник по двум сторонам и медиане к третьей стороне.

Построить треугольник по двум сторонам и высоте к третьей стороне.

Дана окружность с центром О и точка А вне круга. Провести касательную к окружности из точки А

Даны две непересекающиеся окружности. Построить общую касательную к данным окружностям. Сколько решений имеет задача?

Даны окружность и прямая. Найдите на прямой все точки, касательные из которых к окружности имеют заданную длину.

В данном треугольнике провести прямую параллельно основанию так, чтобы сумма длин отрезков боковых сторон, заключенных между этой прямой и основанием была равна основанию.

Построить треугольник по периметру и двум углам.

Построить треугольник, если даны: прямая, на которой лежит основание треугольника, и две точки-основания высот, опущенных на боковые стороны.

Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и сумме катетов.

Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и разности катетов.

Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и биссектрисе прямого угла.

Через точку пересечения двух окружностей провести прямую, образующую равные хорды при пересечении с этими окружностями.

Построить треугольник по стороне, медиане и высоте, проведенным к данной стороне.

Построить треугольник по основанию, высоте и отношению боковых сторон.

Построить треугольник по основанию, медиане к основанию и отношению боковых сторон.

Дан квадрат ABCD Найти геометрическое место точек М плоскости, для которых выполняется равенство .

На плоскости даны две пересекающиеся прямые  и . Найти геометрическое место точек М плоскости таких, что:

а) расстояния от М до  и  равны, б) сумма расстояний от М до  и  равна заданной величине, в) разность расстояний от М до  и  равна заданной величине г) отношение расстояний от М до  и  равно заданной величине

На плоскости дана окружность и точка А. Найти геометрическое место точек М -середин отрезка АВ, если точка В описывает данную окружность.

1) Дана прямая и на ней точки А и В. Найти геометрическое место точек касания двух окружностей, одна из которых касается данной прямой в точке А, а другая- в точке В.

2) На окружности даны две неподвижные точки A и B. Точки C и D перемещаются по окружности так, что расстояние между ними не меняется. Доказать, что точка пересечения прямых AC и BD при этом движется по некоторой окружности, проходящей через A и B.