Лекция 5
Теорема 1 (Коши)
Пусть числовые ряды и сходятся абсолютно Þ ряд состоящий из произведений , занумерованных в произвольном порядке будет сходится абсолютно и его сумма будет равна UV – произведение сумм начальных рядов (из uk, vk).
Доказательство
Пусть wk, k=1… – занумерованные произведения uivj. Пусть KÎN, nK – максимум из i и j в членах wk,k=1…K Þ .
Теорема 2 (Мертенса)
Пусть и числовые ряды, один из которых абсолютно сходится, а другой сходится, и U,V – их суммы Þ , сходится и его сумма равна UV.
Доказательство
Пусть ряд сходится абсолютно и Un – его частичные суммы, а ряд сходится и Vn – его частичные суммы. . Возьмем e>0 и найдем N:
1) при .
2) .
Þ при .
Бесконечные произведения
Определение 1
Бесконечное произведение – это произведение бесконечного числа членов (такое определение некорректно).
Пусть , числовая последовательность Þ выражение – бесконечная числовое произведение. – частичное произведение.
Определение 2
Если $ конечный ненулевой предел , то бесконечное произведение сходится и P – его величина.
Если или , то бесконечное произведение расходится к 0 или к .
Если не существует, то бесконечное произведение расходится.
Если бесконечное произведение сходится, то – остаток бесконечного произведения.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.