Лекция 16
Следствие 1
Если h(x,y) равномерно стремится к g(x) на X при (Y – множество в некотором метрическом пространстве, y0 – предельная точка Y) и Х – множество в некотором метрическом пространстве, h(x,y) непрерывна в точке x0 по Х Þ g(x) непрерывна в точке x0 по Х.
Доказательство
.
Следствие 2
Если h(x,y) равномерно стремится к g(x) на X при , Х – множество в некотором метрическом пространстве и h(x,y) непрерывна на Х Þ g(x) непрерывна на Х.
Теорема 1 (о дифференцировании)
Пусть h(x,y) и определена на I´Y, где I – промежуток из R, Y – множество в некотором метрическом пространстве, y0 – предельная точка Y. Если сходится равномерно на I при , а h(x,y) сходится хотя бы в одной точке I при Þ на " ограниченном промежутке JÌI: h(x,y) стремится равномерно к g(x) на J при и стремится равномерно к g’(x) на I при .
Доказательство
Возьмем произвольную последовательность Þ для h(x,yn) и выполняются условия теоремы о дифференцировании последовательности функций Þ на " ограниченном промежутке JÌI h(x,yn) равномерно стремится к g(x) при на J и равномерно стремится к g’(x) на Х при .
Теорема 2 (об интегрируемости)
Пусть h(x,y) определенная на , Y – множество в некотором метрическом пространстве, y0 – предельная точка Y. Если для " yÎY h(x.y) интегрируема по х на [a,b] в смысле Римана (Мак-Шейна, Курцвейля-Хенстока) и h(x,y) равномерно стремится к g(x) на [a,b] при Þ g(x) интегрируема в том же смысле на [a,b] и .
Доказательство
Возьмем произвольную последовательность Þ для последовательности h(x,yn) выполнены условия телоремы об интегрировании последовательности функций Þ предельная функция g(x) интегрируема в том же смысле, что и h(x,yn) и .
Собственные интегралы с параметром
Будем рассматривать интегралы вида .
Теорема 3 (о пределе)
Пусть f(x,y) действительная (или комплексная) функция на [A,B]´Y, Y – множество в некотором метрическом пространстве и y0 – предельная точка Y. Пусть f(x,y) равномерно стремится к g(x) на [A,B] при , а a(y) и b(y) – отображения Y в [A,B], . Для " yÎY f(x,y) интегрируема на [A,B] в одном из трех смыслов Þ g(x) тоже интегрируема на [A,B] в том же смысле и .
Доказательство
при . .
Теорема 4 (о непрерывности)
Пусть f(x,y) определена и непрерывна на [A,B]´Y, где Y – компакт в Rn, a(y) и b(y) непрерывные отображения Y в [A,B] Þ непрерывная функция на Y.
Доказательство
Для доказательства Теоремы 4 достаточно показать, что f(x,y) равномерно стремится к f(x,y0) при на [A,B] в " точке y0ÎY.
[A,B]´Y – компакт в Rn+1, так как это ограниченное множество и оно содержит все свои предельные точки: (x0,y0) – предельная точка [A,B]´Y Þ х0 – точка соприкосновения [A,B], а y0 – точка соприкосновения Y Þ (x0,y0)Î [A,B]´Y.
Так как f(x,y) непрерывна на компакте [A,B]´Y Þ f(x,y) равномерно непрерывна на нем ( то есть ) Þ Þ есть равномерная сходимость Þ Теорема 4 следует из Теоремы 3. (Y – компакт в Rn, так как мы пользовались теоремой о компактности в Rn).
Теорема 5 (о дифференцировании)
Пусть f(x,y) и непрерывны на [A,B]´[C,D]. а(y) и b(y) отображения [C,D] в [A,B], дифференцируемое на [C,D] Þ дифференцируема на [C,D] и .
Доказательство
Имеем
Имеем равномерно стремится к 0 при на [A,B], из-за равномерной непрерывности на [A,B]´[C,D] и Þ ;
Покажем, что
Рассмотрим . Из-за равномерной непрерывности f и непрерывности b(y): х между b(y0)+b(y)}=O(1)o(1)=o(1) (y®y0).
Теорема 6 (об интегрировании)
Пусть .
Доказательство
Имеем, что – непрерывна на [A,B]´[C,D].
Из Теоремы 4: – точная первообразная .
Положим z = B и получим равенство теоремы.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.