Теорема о дифференцировании. Теорема об интегрируемости

Лекция 16

Следствие 1

Если h(x,y) равномерно стремится к g(x) на X при  (Y – множество в некотором метрическом пространстве, y₀ – предельная точка Y) и Х – множество в некотором метрическом пространстве,  h(x,y) непрерывна в точке x₀ по Х Þ g(x) непрерывна в точке x₀ по Х.

Доказательство

  .

Следствие 2

Если h(x,y) равномерно стремится к g(x) на X при , Х – множество в некотором метрическом пространстве и  h(x,y) непрерывна на Х Þ g(x) непрерывна на Х.

Теорема 1 (о дифференцировании)

Пусть h(x,y)  и  определена на I´Y, где I – промежуток из R, Y – множество в некотором метрическом пространстве, y₀ – предельная точка Y. Если  сходится равномерно на I при , а h(x,y) сходится хотя бы в одной точке I при  Þ на " ограниченном промежутке JÌI: h(x,y) стремится равномерно к g(x) на J при  и  стремится равномерно к g’(x) на I при .

Доказательство

Возьмем произвольную последовательность  Þ для h(x,y_n) и  выполняются условия теоремы о дифференцировании последовательности функций Þ на " ограниченном промежутке JÌI h(x,y_n) равномерно стремится к g(x) при  на J и  равномерно стремится к g’(x) на Х при .

Теорема 2 (об интегрируемости)

Пусть h(x,y) определенная на , Y – множество в некотором метрическом пространстве, y₀ – предельная точка Y. Если для " yÎY h(x.y) интегрируема по х на [a,b] в смысле Римана (Мак-Шейна, Курцвейля-Хенстока) и h(x,y) равномерно стремится к g(x) на [a,b] при  Þ g(x) интегрируема в том же смысле на [a,b] и .

Доказательство

Возьмем произвольную последовательность  Þ для последовательности h(x,y_n) выполнены условия телоремы об интегрировании последовательности функций Þ предельная функция g(x) интегрируема в том же смысле, что и h(x,y_n) и .

Собственные интегралы с параметром

Будем рассматривать интегралы вида .

Теорема 3 (о пределе)

Пусть f(x,y) действительная (или комплексная) функция на [A,B]´Y, Y – множество в некотором метрическом пространстве и y₀ – предельная точка Y. Пусть f(x,y) равномерно стремится к g(x) на [A,B] при , а a(y) и b(y) – отображения Y в [A,B], . Для " yÎY f(x,y) интегрируема на [A,B] в одном из трех смыслов Þ g(x) тоже интегрируема на [A,B] в том же смысле и .

Доказательство

 при .  .

Теорема 4 (о непрерывности)

Пусть f(x,y) определена и непрерывна на [A,B]´Y, где Y – компакт в Rⁿ, a(y) и b(y) непрерывные отображения Y в [A,B] Þ  непрерывная функция на Y.

Доказательство

Для доказательства Теоремы 4 достаточно показать, что f(x,y) равномерно стремится к f(x,y₀) при  на [A,B] в " точке y₀ÎY.

[A,B]´Y – компакт в Rⁿ⁺¹, так как это ограниченное множество и оно содержит все свои предельные точки: (x₀,y₀) – предельная точка [A,B]´Y Þ х₀ – точка соприкосновения [A,B], а y₀ – точка соприкосновения Y Þ (x₀,y₀)Î [A,B]´Y.

Так как f(x,y) непрерывна на компакте [A,B]´Y Þ f(x,y) равномерно непрерывна на нем ( то есть  ) Þ   Þ есть равномерная сходимость Þ Теорема 4 следует из Теоремы 3. (Y – компакт в  Rⁿ, так как мы пользовались теоремой о компактности в Rⁿ).

Теорема 5 (о дифференцировании)

Пусть f(x,y) и  непрерывны на [A,B]´[C,D]. а(y) и b(y) отображения [C,D] в [A,B], дифференцируемое на [C,D] Þ   дифференцируема на [C,D] и  .

Доказательство

Имеем  

Имеем  равномерно стремится к 0 при  на [A,B], из-за равномерной непрерывности  на [A,B]´[C,D] и  Þ  ;

Покажем, что

Рассмотрим . Из-за равномерной непрерывности f и непрерывности b(y):  х между b(y₀)+b(y)}=O(1)o(1)=o(1) (y®y₀).

Теорема 6 (об интегрировании)

Пусть .

Доказательство

Имеем, что  – непрерывна на [A,B]´[C,D].

Из Теоремы 4:  – точная первообразная .

Положим z = B и получим равенство теоремы.