Высшая математика.
Вопросы по модулю 1.
1. Натуральные числа и их свойства. Принцип математической индукции.
Пояснить на примере: Сумма углов в выпуклом многоугольнике с (n+2)
◦
сторонами равна 180 n.
2. Целые и рациональные числа. Свойства. Заполняют ли рациональные точки всю числовую ось? Доказать, что √3 не является рациональным числом.
3. Задача о процентах с капитала. Простые и сложные проценты. Решите задачу: Во Франции XVI в. ростовщики давали кредит на условии удвоения суммы долга за 6 лет. Какова была годовая процентная ставка для простых и сложных процентов?
4. Умножение; деление; возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Найти необходимые и достаточные условия, чтобы квадрат комплексного числа был: а) действительным числом; б) чисто мнимым числом.
5. Основная теорема алгебры. Найдите все корни уравнения (z2+1)2= 0.
6. Векторы и операции с ними. Координаты вектора. Даны векторы e1=(3,4), e2= (6,4), e3= (3,8). Выразить вектор e3 через векторы e1 и e2.
7.
Уравнения прямой: общее, с угловым коэффициентом; в отрезках;
через две точки. Прямая спроса проходит через точки (Q0,0)
= (3,0) и (0,4). Прямая предложения через точку (0,P0)=(0,1/2)
и имеет угловой коэффициент s
относительно оси OP. Найдите точку равновесия и напишите функции
спроса и предложения в равновесной форме.
8. Динамика рыночных цен: функции предложения и спроса, точка равновесия. Функции линейного спроса и предложения в равновесной форме. Зависимость функции спроса D и предложения S от цены имеют вид: Q =6D 2P, Q =P+3. Найдите: а) равновесную цену; б) изменение дохода (в
S
процентах) при увеличении цены на 5% от равновесной.
9. Коррекция цены и спроса в линейной паутинной модели (Вальраса) с запаздыванием спроса (модели A). Рисунок.
10.
Определители и их свойства. Теорема Лапласа. Решить
уравнение: x2 3 2 x 1 1 0 .
0 1 4
11. Критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений.
Определите: при каких значениях параметров a и b система уравнений
3x ay 6
ax27y b
1) имеет единственное решение;
2) не имеет решений;
3) имеет бесконечно много решений.
12. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. x1 4x2 3x3 5
Решите: 3x1 2x2 3x3 9
2x1 4x2 3x3 1
13. Однородные системы линейных уравнений. Свойства. Найдите соотношения цен трех товаров, если стоимости наборов y1 (4,4,2), y2 (2,7,5), y3 (1,6,4) этих товаров относятся как 3:5:4.
Вопросы по модулю 2.
1. Числовая последовательность и ее предел. Геометрическая иллюстрация.
1
Докажите, используя определение
предела, что lim
3n 0 . Начиная с какого n
n, величина 
31n не превосходит ε=10-4.
2. Непрерывное начисление процентов. Задача удвоения вклада.
Пусть P0= 1 млн.руб. — величина первоначального вклада в банке, годовые сложные проценты — 10 %. Найти наращенную сумму S за пять лет, если начисление процентов происходит непрерывно (m=∞).
3. Монотонные
последовательности. 2-й замечательный предел. Найдите предел lim 1n
anbn .
4.
Предел
функции в точке. 1-й замечательный предел. Вычислите предел lim tgbx
x0 ax 1 1
5. Бесконечно
малые и эквивалентные функции. Вычислите предел с помощью таблицы
эквивалентных б.м. функций lim 
tgbx
x0 ln(1ax)
6. Непрерывность. Свойства непрерывных функций. Сложная функция.
Докажите: lim 
ln(1x) 1.
x0 x
7. Производная функции. Правила дифференцирования. Вычислите f '(x), если f(x)=(x+a)/(x+b).
8.
Дифференциал.
Касательная к графику функции. Найдите дифференциал функции: f x( ) 1 x2 .
Напишите уравнение касательной к графику f(x) в
точке x=0.
9. Экстремумы функции. Необходимое, достаточное условия.
Производитель реализует свою продукцию по цене pза единицу, а издержки
S(x) при этом задаются зависимостью S(x) = ax + bx3 (a<p). Найти оптимальный для производителя объем выпуска продукции и соответствующую ему прибыль, вычислить при p = 2a.
10. Исследование функции. Найдите точки экстремума и перегиба, промежутки монотонности. Нарисуйте эскиз графика функции: y x 3 6x2.
11. Производная функции. Применение в экономике. Эластичность.
На основе опытных
данных установлены зависимости спроса q (количество покупаемого товара)
и предложения s (количество предлагаемого на продажу товара) от цены
товара p: q
10 
p2
p; s p
1. Определить
4
эластичность спроса и предложения по равновесной цене, изменение спроса при увеличении цены на 10% от равновесной.
12. Неопределенные интегралы. Основные правила интегрирования. С помощью интегрирования по частям найдите:
I
1x dx2 .
13. Метод замены переменной. Найдите интеграл: 7
I (a bx dx ) .
14. Метод интегрирования по частям. Найдите интеграл: f x( )x e2 ax3dx .
15. Определенный интеграл; формула Ньютона-Лейбница.
4 dx
3 (x2)(x1)
16. Определенный интеграл; геометрические приложения.Найти площадь
2
фигуры, ограниченной линиями: y=x, y=x -2.
17. Кривая Лоренца и коэффициент Джини.
На основании следующих статистических данных построить кривую Лоренца.
|
% получаемых совокупных доходов |
20 |
50 |
|
% домашних хозяйств |
40 |
70 |
Найти коэффициент Джини и относительный средний доход каждой группы.
18. Обыкновенное дифференциальное уравнение. Д.у. с разделяющимися переменными. Модель динамики народонаселения: x'(t)=(1-x) x.
19. Примеры функций нескольких переменных. Предел функции по совокупности переменных. Найдите предел или докажите, что он не существует:
x2 y2
(x y, lim) x2 xy y2 (0,0)
20. Частные производные. Дифференциал функции 2-х переменных.
Рассмотрим функцию u (x, y) = x2 - y2. а) нарисовать ее линии уровня с=0; с=9, б) найти частные производные, дифференциал, градиент. Вычислить их в точке (5,4). Показать, что градиент перпендикулярен линии уровня.
21. Непрерывность функции 2-х переменных.
Непрерывна ли функция
|
f x y( , ) |
1, x2 y2 0 |
22. Экстремумы функции 2-х переменных. Необходимое, достаточное условия.
Найдите локальные экстремумыфункции u(x,y). u x y( , ) x3 y3 3xy.
23. Условный экстремум. Прямой метод.
Иванов всю свою стипендию в размере 3000 руб. тратит на кефир и чипсы.
Стоимость продуктов питания: p =30 руб. за 1 литр кефира, p =90 руб. за
1 2
1/2 3/2
один кг чипсов. Функция полезности Иванова: z=x y . Цена кефира поднялась в 2 раза. Определите, во сколько раз надо изменить доход потребителя, чтобы он остался на прежней кривой безразличия.
Вопросы по модулю 3.
24. Метод наименьших квадратов (МНК) для нахождения коэффициентов линейной зависимости y от x. Вывести формулы, решить задачу:
С помощью МНК найти линейную зависимость Y от Х.
|
X |
0 |
1 |
0 |
|
Y |
0 |
0 |
1 |
25. Геометрический метод задачи линейного программирования. Задача:
Попал Али-баба в пещеру разбойников. Там стояли мешки с золотом и алмазами. Мешок золота весит 200 кг, алмазов – 40 кг. Один кг золота стоит 20 динаров, алмазов - 60 динаров. Имеются ограничения: Али-баба не может поднять более 100 кг и не имеет права вынести более одного мешка. Что ему вынести, чтобы цена была максимальной?
26. Формулы комбинаторики. Сочетания. Размещения. Перестановки. Пример:
Для участия в телевикторине случайным образом выбирают 3 игроков из 8. Какова вероятность того, что это будут 1-й, 4-й и 8-й игроки
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
sin
xy , x2
y2 0
x2 y2 .