Натуральные числа и их свойства. Принцип математической индукции. Целые и рациональные числа. Свойства

Высшая математика.                  

Вопросы по модулю 1.

1.  Натуральные числа и их свойства. Принцип математической индукции.

Пояснить на примере: Сумма углов в выпуклом многоугольнике с (n+2)

◦

сторонами равна 180 n.

2.  Целые и рациональные числа. Свойства. Заполняют ли рациональные точки всю числовую ось? Доказать, что √3  не является рациональным числом.

3.  Задача о процентах с капитала. Простые и сложные проценты. Решите задачу: Во Франции XVI в. ростовщики давали кредит на условии удвоения суммы долга за 6 лет. Какова была годовая процентная ставка для простых и сложных процентов?

4.  Умножение; деление; возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Найти необходимые и достаточные условия, чтобы квадрат комплексного числа был:     а) действительным числом;  б) чисто мнимым числом.

5.  Основная теорема алгебры. Найдите все корни уравнения  (z²+1)²= 0.

6.  Векторы и операции с ними. Координаты вектора. Даны векторы   e₁=(3,4),  e₂= (6,4), e₃= (3,8). Выразить вектор e₃   через векторы e₁   и    e₂.  

7.  Уравнения прямой: общее, с угловым коэффициентом; в отрезках; через две точки.  Прямая  спроса проходит через точки (Q₀,0) = (3,0) и (0,4).  Прямая предложения  через    точку (0,P₀)=(0,1/2) и имеет угловой коэффициент s_ относительно оси OP.  Найдите точку равновесия и напишите  функции спроса и предложения в равновесной форме.

8.  Динамика рыночных цен: функции предложения и спроса, точка равновесия. Функции линейного спроса и предложения в равновесной форме. Зависимость функции спроса D и предложения S от цены имеют вид: Q =6D 2P, Q =P+3. Найдите: а) равновесную цену; б)  изменение дохода (в

S

процентах) при увеличении цены на 5% от равновесной.

9.  Коррекция цены и спроса в линейной паутинной модели (Вальраса) с запаздыванием спроса (модели A). Рисунок.

10.  Определители и их свойства. Теорема Лапласа. Решить уравнение:     x² 3 2 x 1 1 0 .

0 1 4

11.  Критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений. 

Определите: при каких значениях параметров a и b система уравнений  

3x ay 6



_ax27y b

1)  имеет единственное решение;

2)  не имеет решений;

3)  имеет бесконечно много решений.

12.  Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. x₁ 4x₂ 3x₃ 5

                                                  

Решите:  3x₁ 2x₂ 3x₃ 9

^2x₁ 4x₂ 3x₃ 1

13.  Однородные системы линейных уравнений. Свойства.  Найдите соотношения         цен    трех   товаров,      если   стоимости наборов  y₁  (4,4,2), y₂  (2,7,5), y₃  (1,6,4)    этих товаров относятся как 3:5:4.

Вопросы по модулю 2.

1.  Числовая последовательность и ее предел. Геометрическая иллюстрация. 

1

Докажите, используя определение предела, что   ^lim 3n  0 . Начиная с какого _n

n, величина 3¹_n не превосходит ε=10^-4.

2.  Непрерывное начисление процентов. Задача удвоения вклада. 

Пусть P₀= 1 млн.руб. — величина первоначального вклада в банке, годовые сложные проценты — 10  %. Найти наращенную сумму  S за пять лет, если начисление процентов происходит непрерывно   (m=∞).

3.  Монотонные последовательности. 2-й замечательный  предел. Найдите  предел  lim 1n anbn .

4.  Предел функции в точке. 1-й  замечательный предел. Вычислите  предел  lim     ^{tgbx                       x0}                   ax 1 1

5.  Бесконечно  малые  и эквивалентные функции. Вычислите  предел с помощью таблицы  эквивалентных б.м. функций        ^{lim tgbx                  x0} ln(1ax)

6.  Непрерывность. Свойства непрерывных функций. Сложная функция.

Докажите:           lim ^ln(1x) _1.

                                               x0            x

7.  Производная функции. Правила дифференцирования. Вычислите  f '(x), если  f(x)=(x+a)/(x+b).

8.  Дифференциал. Касательная к графику функции. Найдите  дифференциал функции: f x( ) 1 x² . Напишите уравнение касательной к графику f(x) в точке x=0.

9.  Экстремумы функции. Необходимое, достаточное условия. 

Производитель реализует свою продукцию по цене pза единицу, а издержки

S(x) при этом задаются зависимостью S(x) = ax + bx³ (a<p). Найти оптимальный для производителя объем выпуска продукции и соответствующую ему прибыль, вычислить при p = 2a.

10.  Исследование функции. Найдите точки экстремума и перегиба, промежутки монотонности. Нарисуйте эскиз графика функции: y x ³ 6x².

11.  Производная функции. Применение в экономике. Эластичность. 

На основе опытных данных установлены зависимости спроса q (количество покупаемого товара)  и предложения s (количество предлагаемого на продажу товара) от цены товара p: q ^{10 p2  p}; s p 1. Определить

                                                                                                                          4

эластичность спроса и предложения по равновесной цене, изменение спроса при увеличении цены на 10% от равновесной. 

12.  Неопределенные интегралы. Основные правила интегрирования. С помощью интегрирования по частям найдите:

I  1x dx²     _.

13. Метод замены переменной. Найдите интеграл: 7

I (a bx dx ) _.

14.  Метод интегрирования по частям. Найдите интеграл: f x( )x e2 ax3dx .

15.  Определенный интеграл; формула Ньютона-Лейбница.

            4                  dx

 ^3 (x2)(x1)                

16.  Определенный интеграл; геометрические  приложения.Найти площадь

2

фигуры, ограниченной линиями: y=x, y=x -2. 

17.  Кривая Лоренца и коэффициент Джини. 

На основании следующих статистических данных построить кривую Лоренца.

Найти коэффициент Джини и относительный средний доход каждой группы. 

18.  Обыкновенное дифференциальное уравнение. Д.у. с разделяющимися переменными. Модель динамики народонаселения: x'(t)=(1-x) x.

19.  Примеры функций нескольких переменных. Предел функции по совокупности переменных.  Найдите предел или докажите, что он не существует:

x2 y2

(x y, lim) x2  xy y2 (0,0)

20.  Частные производные. Дифференциал функции 2-х переменных. 

Рассмотрим функцию u (x, y) = x² - y².  а) нарисовать ее линии уровня с=0; с=9, б) найти частные производные, дифференциал, градиент. Вычислить их в точке (5,4). Показать, что градиент перпендикулярен линии уровня.

21.  Непрерывность функции 2-х переменных.

Непрерывна ли функция

22.  Экстремумы функции 2-х переменных. Необходимое, достаточное условия. 

Найдите  локальные  экстремумыфункции u(x,y). u x y( , )   x³ y³ 3xy. 

23.  Условный экстремум. Прямой метод.

Иванов всю свою стипендию в размере 3000 руб. тратит на кефир и чипсы.

Стоимость продуктов питания: p =30 руб. за 1 литр кефира, p =90 руб. за

                                                                                     1                                                                      2

                                                                                                                                  1/2   3/2

один кг чипсов. Функция полезности Иванова: z=x    y        . Цена кефира поднялась в 2 раза. Определите, во сколько раз надо изменить доход потребителя, чтобы он остался на прежней кривой безразличия.

Вопросы по модулю 3.

24.  Метод наименьших квадратов (МНК) для нахождения коэффициентов линейной зависимости y от  x. Вывести формулы, решить задачу:

С помощью МНК найти линейную зависимость Y от Х. 

25.  Геометрический метод задачи линейного программирования. Задача: 

Попал Али-баба в пещеру разбойников. Там стояли мешки с золотом и алмазами. Мешок золота весит 200 кг, алмазов – 40 кг. Один кг золота стоит 20 динаров, алмазов - 60 динаров. Имеются ограничения: Али-баба не может поднять более 100 кг и не имеет права вынести более одного мешка. Что ему вынести, чтобы цена была максимальной?

26.  Формулы комбинаторики. Сочетания. Размещения. Перестановки. Пример:

Для участия в телевикторине случайным образом выбирают 3 игроков из 8. Какова вероятность того, что это будут 1-й, 4-й и 8-й игроки